Номер 500, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 500, страница 130.

Условие.

500. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}$;

3) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}$;

4) $\sqrt{0,009} \cdot \sqrt{1000}$;

5) $\sqrt{200} \cdot \sqrt{0,18}$;

6) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{26}$;

7) $\sqrt{2,4} \cdot \sqrt{1\frac{2}{3}}$;

8) $\sqrt{\frac{2}{11}} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{11}}$;

9) $\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$):

$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6

2) Используем то же свойство корней, что и в предыдущем примере:

$\sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8

3) Применяем свойство произведения корней, объединяя подкоренные выражения:

$\sqrt{18} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30$.

Ответ: 30

4) Умножим подкоренные выражения:

$\sqrt{0,009} \cdot \sqrt{1000} = \sqrt{0,009 \cdot 1000} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: 3

5) Снова используем свойство произведения корней:

$\sqrt{200} \cdot \sqrt{0,18} = \sqrt{200 \cdot 0,18} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6

6) Свойство произведения корней справедливо и для трех множителей $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$:

$\sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{13 \cdot 2 \cdot 26} = \sqrt{26 \cdot 26} = \sqrt{26^2} = 26$.

Ответ: 26

7) Сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби:

$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь перемножим корни, подставив полученные дроби:

$\sqrt{2,4} \cdot \sqrt{1\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{12}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

8) Объединим все множители под одним знаком корня:

$\sqrt{\frac{2}{11}} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{2}{11} \cdot 8 \cdot \frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8}{11 \cdot 11}} = \sqrt{\frac{16}{121}}$.

Теперь воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{16}{121}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{121}} = \frac{4}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{11}$

9) Перемножим подкоренные выражения, а затем воспользуемся свойствами степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и свойством корня $\sqrt{a^k} = a^{k/2}$:

$\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{(2^3 \cdot 3^1) \cdot (2^5 \cdot 3^3)} = \sqrt{(2^3 \cdot 2^5) \cdot (3^1 \cdot 3^3)} = \sqrt{2^{3+5} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4}$.

Далее, извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4} = 2^{8/2} \cdot 3^{4/2} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: 144