Страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

521. Тракторист должен был засеять поле за 8 дней. Однако из-за плохой погоды он засеивал ежедневно на 3 га меньше нормы и поэтому выполнил работу за 10 дней. Какова площадь поля?

Для решения задачи введем переменную.

Пусть $x$ (га/день) — плановая производительность тракториста, то есть норма, которую он должен был выполнять ежедневно.

Согласно плану, тракторист должен был засеять поле за 8 дней. Таким образом, площадь поля $S$ можно выразить как:

$S = 8 \cdot x$

Из-за плохой погоды тракторист засеивал ежедневно на 3 га меньше нормы, то есть его фактическая производительность составляла $(x - 3)$ га/день. На всю работу у него ушло 10 дней. Следовательно, площадь того же поля можно выразить и так:

$S = 10 \cdot (x - 3)$

Поскольку речь идет об одном и том же поле, мы можем приравнять два полученных выражения для площади, чтобы составить уравнение:

$8x = 10(x - 3)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$8x = 10x - 30$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а числовые значения — в другую:

$30 = 10x - 8x$

$30 = 2x$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{2}$

$x = 15$

Мы выяснили, что плановая производительность тракториста составляла 15 га в день.

Теперь, зная $x$, можем найти площадь поля $S$, подставив это значение в любую из первоначальных формул. Воспользуемся первой:

$S = 8 \cdot x = 8 \cdot 15 = 120$ га.

Для проверки подставим значение $x$ во вторую формулу:

$S = 10 \cdot (x - 3) = 10 \cdot (15 - 3) = 10 \cdot 12 = 120$ га.

Результаты совпали, значит, задача решена верно.

Ответ: 120 га.

522. Число $a$ – чётное, а число $b$ – нечётное. Значением какого из данных выражений обязательно является чётное число:

1) $(a+b)b;$
2) $\frac{ab}{2};$
3) $\frac{a^2b}{2};$
4) $\frac{ab^2}{2}?$

По условию задачи, число $a$ — чётное, а число $b$ — нечётное. Это означает, что $a$ можно представить в виде $a = 2k$, а $b$ — в виде $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, какое из них всегда будет чётным.

1) $(a + b)b$
Рассмотрим сумму в скобках. Сумма чётного ($a$) и нечётного ($b$) чисел всегда является нечётным числом. $a + b = \text{чётное} + \text{нечётное} = \text{нечётное}$.
Далее это нечётное число умножается на нечётное число $b$. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом. $(a + b) \cdot b = \text{нечётное} \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}$.
Например, если взять $a=2$ и $b=3$, то $(2+3) \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ (нечётное).
Следовательно, значение этого выражения всегда нечётное.
Ответ: нечётное.

2) $\frac{ab}{2}$
Подставим в выражение $a = 2k$: $\frac{(2k)b}{2} = kb$.
Результат этого выражения зависит от чётности числа $k$. Число $b$ по условию нечётное.

• Если $k$ — нечётное (например, $k=1$, что соответствует $a=2$), то произведение $kb$ будет нечётным ($\text{нечётное} \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}$). Пример: $a=2, b=3 \implies \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ (нечётное).
• Если $k$ — чётное (например, $k=2$, что соответствует $a=4$), то произведение $kb$ будет чётным ($\text{чётное} \cdot \text{нечётное} = \text{чётное}$). Пример: $a=4, b=3 \implies \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ (чётное).

Поскольку результат может быть как чётным, так и нечётным, это выражение не является обязательно чётным.
Ответ: не всегда чётное.

3) $\frac{a^2b}{2}$
Подставим в выражение $a = 2k$: $\frac{(2k)^2 b}{2} = \frac{4k^2 b}{2} = 2k^2 b$.
Так как в итоговом выражении присутствует множитель 2, то результат всегда будет делиться на 2 без остатка, независимо от значений целых чисел $k$ и $b$. Любое целое число, умноженное на 2, является чётным.
Например, если $a=2$ и $b=3$, то $\frac{2^2 \cdot 3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ (чётное).
Значение этого выражения всегда является чётным.
Ответ: всегда чётное.

4) $\frac{ab^2}{2}$
Подставим в выражение $a = 2k$: $\frac{(2k)b^2}{2} = kb^2$.
Квадрат нечётного числа $b$ также является нечётным числом ($b^2 = \text{нечётное} \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}$).
Выражение сводится к $kb^2 = k \cdot (\text{нечётное})$. Как и в пункте 2, результат зависит от чётности $k$:

• Если $k$ — нечётное ($a=2$), то $kb^2$ будет нечётным. Пример: $a=2, b=3 \implies \frac{2 \cdot 3^2}{2} = 9$ (нечётное).
• Если $k$ — чётное ($a=4$), то $kb^2$ будет чётным. Пример: $a=4, b=3 \implies \frac{4 \cdot 3^2}{2} = 18$ (чётное).

Значение этого выражения не всегда является чётным.
Ответ: не всегда чётное.

Таким образом, единственное выражение, значение которого обязательно является чётным числом, это $\frac{a^2b}{2}$.

523. На доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом (в каждой группе должно быть не менее двух чисел)?

Пусть на доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Обозначим первое число этой последовательности за $n$. Тогда вся последовательность чисел будет иметь вид: $n, n+1, n+2, \ldots, n+101$.

Сначала найдем общую сумму всех этих чисел. Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, состоящую из 102 членов. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{k}{2}(a_1 + a_k)$, где $k$ — количество членов, $a_1$ — первый член, а $a_k$ — последний.

В нашем случае $k=102$, $a_1=n$ и $a_{102}=n+101$.
Общая сумма $S_{общ}$ будет равна:
$S_{общ} = \frac{102}{2}(n + (n+101)) = 51 \cdot (2n + 101)$.

Проанализируем четность этой суммы.

• Множитель 51 является нечетным числом.
• Выражение $2n$ всегда четное для любого натурального $n$.
• Число 101 является нечетным.
• Сумма четного и нечетного числа ($2n + 101$) всегда является нечетным числом.

Таким образом, $S_{общ}$ равна произведению двух нечетных чисел (51 и $2n+101$). Произведение двух нечетных чисел всегда нечетно. Следовательно, общая сумма всех 102 чисел — нечетное число.

По условию, мы должны разбить эти числа на две группы. Пусть сумма чисел в первой группе будет $S_1$, а во второй — $S_2$. Тогда должно выполняться равенство $S_1 + S_2 = S_{общ}$.

Согласно условию задачи, $S_1$ и $S_2$ должны быть простыми числами. Также в каждой группе должно быть не менее двух чисел. Так как мы имеем дело с натуральными числами (наименьшие из которых 1, 2, 3, ...), то минимально возможная сумма двух разных чисел в группе — это $1+2=3$. Значит, $S_1 \ge 3$ и $S_2 \ge 3$.

Единственное четное простое число — это 2. Поскольку обе суммы $S_1$ и $S_2$ больше или равны 3, ни одна из них не может быть равна 2. Это означает, что $S_1$ и $S_2$ должны быть нечетными простыми числами (все простые числа, кроме 2, являются нечетными).

Сумма двух нечетных чисел ($S_1$ и $S_2$) всегда является четным числом. Следовательно, их сумма $S_{общ} = S_1 + S_2$ должна быть четной.

Мы пришли к противоречию:

1. С одной стороны, общая сумма $S_{общ}$ всех 102 чисел является нечетным числом.
2. С другой стороны, если бы требуемое разбиение на две группы было возможно, их общая сумма $S_{общ}$ должна была бы быть четным числом.

Поскольку число не может быть одновременно и четным, и нечетным, такое разбиение невозможно.

Ответ: нет, нельзя.