Номер 1, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 1, страница 129.

Условие.

1. Какому выражению тождественно равно выражение $ \sqrt{a^2} $?

Решение 2.

Решение 8.

1.

Для того чтобы определить, какому выражению тождественно равно выражение $\sqrt{a^2}$, необходимо рассмотреть определение арифметического квадратного корня. Арифметический квадратный корень из числа $x$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Ключевым моментом является то, что результат извлечения корня всегда должен быть больше или равен нулю.

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^2}$ для различных значений $a$.

Случай 1: $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$).
Если $a=5$, то $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$. В этом случае $\sqrt{a^2} = a$.
Если $a=0$, то $\sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0$. В этом случае $\sqrt{a^2} = a$.
Для любого неотрицательного $a$, результат $\sqrt{a^2}$ равен самому числу $a$, так как $a$ уже неотрицательно.

Случай 2: $a$ — отрицательное число ($a < 0$).
Если $a=-5$, то $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$. Результат $5$ является числом, противоположным исходному $a=-5$. То есть, $5 = -(-5) = -a$.
Для любого отрицательного $a$, число $a^2$ будет положительным. Корень из $a^2$ должен быть положительным числом, равным по величине $a$, то есть $-a$.

Таким образом, мы имеем два правила:

• Если $a \ge 0$, то $\sqrt{a^2} = a$.
• Если $a < 0$, то $\sqrt{a^2} = -a$.

Эта кусочно-заданная функция является определением модуля (или абсолютной величины) числа $a$, который обозначается как $|a|$.

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}

Следовательно, тождество имеет вид: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Ответ: $|a|$.