Номер 2, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Вопросы - номер 2, страница 129.

Условие.

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.

Решение 2.

Решение 8.

Формулировка теоремы

Для любого действительного числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо равенство:

$ \sqrt{a^{2k}} = |a^k| $

Словесно эта теорема звучит так: арифметический квадратный корень из степени с чётным показателем равен модулю основания этой степени, показатель которой вдвое меньше показателя подкоренного выражения.

Обоснование и доказательство

Ключевым моментом в этой теореме является наличие модуля в правой части равенства. Это требование вытекает непосредственно из определения арифметического квадратного корня: результат его извлечения не может быть отрицательным числом. Однако выражение $a^k$ (без модуля) может быть отрицательным.

Пример:
Рассмотрим вычисление выражения $\sqrt{(-2)^6}$.

С одной стороны, выполнив сначала возведение в степень, а затем извлечение корня, получим: $\sqrt{(-2)^6} = \sqrt{64} = 8$.

С другой стороны, применим теорему. В данном случае $a = -2$ и $2k = 6$, следовательно, $k=3$. Применяя формулу, получаем:

$\sqrt{(-2)^6} = |(-2)^3| = |-8| = 8$.

Результаты совпадают. Если бы в формуле отсутствовал знак модуля, мы бы пришли к неверному равенству: $\sqrt{(-2)^6} = (-2)^3$, что означало бы $8 = -8$. Это противоречие и объясняет, почему модуль в данной теореме обязателен.

Частным, но очень важным случаем этой теоремы является ситуация, когда $k=1$:

$ \sqrt{a^2} = |a| $

Формальное доказательство

Для доказательства тождества $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$ необходимо показать, что для выражения $Y = |a^k|$ выполняются два условия, которым должен удовлетворять арифметический квадратный корень из $X = a^{2k}$:

1. $Y \ge 0$ (значение корня неотрицательно).
2. $Y^2 = X$ (квадрат корня равен подкоренному выражению).

Проверим оба условия для $Y = |a^k|$ и $X = a^{2k}$:

1. Проверка неотрицательности: По определению модуля, $|a^k| \ge 0$ для любых действительных $a$ и натуральных $k$. Первое условие выполнено.

2. Проверка возведения в квадрат: Необходимо проверить равенство $(|a^k|)^2 = a^{2k}$. Квадрат модуля любого числа равен квадрату самого этого числа, то есть $|b|^2 = b^2$. Следовательно, $(|a^k|)^2 = (a^k)^2$. По свойству возведения степени в степень $((b^m)^n = b^{mn})$, имеем $(a^k)^2 = a^{k \cdot 2} = a^{2k}$. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются, теорема доказана.

Ответ: Теорема об арифметическом квадратном корне из степени гласит, что для любого числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо тождество $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.