Номер 2, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вопросы. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 2, страница 129.
№2 (с. 129)
Условие. №2 (с. 129)
скриншот условия

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.
Решение 2. №2 (с. 129)

Решение 8. №2 (с. 129)
Формулировка теоремы
Для любого действительного числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо равенство:
$ \sqrt{a^{2k}} = |a^k| $
Словесно эта теорема звучит так: арифметический квадратный корень из степени с чётным показателем равен модулю основания этой степени, показатель которой вдвое меньше показателя подкоренного выражения.
Обоснование и доказательство
Ключевым моментом в этой теореме является наличие модуля в правой части равенства. Это требование вытекает непосредственно из определения арифметического квадратного корня: результат его извлечения не может быть отрицательным числом. Однако выражение $a^k$ (без модуля) может быть отрицательным.
Пример:
Рассмотрим вычисление выражения $\sqrt{(-2)^6}$.
С одной стороны, выполнив сначала возведение в степень, а затем извлечение корня, получим: $\sqrt{(-2)^6} = \sqrt{64} = 8$.
С другой стороны, применим теорему. В данном случае $a = -2$ и $2k = 6$, следовательно, $k=3$. Применяя формулу, получаем:
$\sqrt{(-2)^6} = |(-2)^3| = |-8| = 8$.
Результаты совпадают. Если бы в формуле отсутствовал знак модуля, мы бы пришли к неверному равенству: $\sqrt{(-2)^6} = (-2)^3$, что означало бы $8 = -8$. Это противоречие и объясняет, почему модуль в данной теореме обязателен.
Частным, но очень важным случаем этой теоремы является ситуация, когда $k=1$:
$ \sqrt{a^2} = |a| $
Формальное доказательство
Для доказательства тождества $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$ необходимо показать, что для выражения $Y = |a^k|$ выполняются два условия, которым должен удовлетворять арифметический квадратный корень из $X = a^{2k}$:
1. $Y \ge 0$ (значение корня неотрицательно).
2. $Y^2 = X$ (квадрат корня равен подкоренному выражению).
Проверим оба условия для $Y = |a^k|$ и $X = a^{2k}$:
1. Проверка неотрицательности: По определению модуля, $|a^k| \ge 0$ для любых действительных $a$ и натуральных $k$. Первое условие выполнено.
2. Проверка возведения в квадрат: Необходимо проверить равенство $(|a^k|)^2 = a^{2k}$. Квадрат модуля любого числа равен квадрату самого этого числа, то есть $|b|^2 = b^2$. Следовательно, $(|a^k|)^2 = (a^k)^2$. По свойству возведения степени в степень $((b^m)^n = b^{mn})$, имеем $(a^k)^2 = a^{k \cdot 2} = a^{2k}$. Второе условие также выполнено.
Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются, теорема доказана.
Ответ: Теорема об арифметическом квадратном корне из степени гласит, что для любого числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо тождество $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 129 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 129), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.