Страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

557. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$;

2) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}};$

3) $\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}};$

4) $\frac{19}{2\sqrt{5}-1};$

5) $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}};$

6) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}.$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{2}+1$ является $\sqrt{2}-1$.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

В знаменателе применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

В числителе раскрываем скобки:

$\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 = 2 - \sqrt{2}$.

В результате получаем:

$\frac{2 - \sqrt{2}}{1} = 2 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

2) Для дроби $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.

$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.

3) Для дроби $\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{15}+\sqrt{12}$.

$\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}} = \frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{(\sqrt{15}-\sqrt{12})(\sqrt{15}+\sqrt{12})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{15}-\sqrt{12})(\sqrt{15}+\sqrt{12}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{12})^2 = 15 - 12 = 3$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{3} = 5(\sqrt{15}+\sqrt{12})$.

Можно также упростить выражение, вынеся множитель из-под корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$5(\sqrt{15}+\sqrt{12}) = 5(\sqrt{15}+2\sqrt{3})$.

Ответ: $5(\sqrt{15}+2\sqrt{3})$.

4) Для дроби $\frac{19}{2\sqrt{5}-1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2\sqrt{5}+1$.

$\frac{19}{2\sqrt{5}-1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{19(2\sqrt{5}+1)}{19} = 2\sqrt{5}+1$.

Ответ: $2\sqrt{5}+1$.

5) Для дроби $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. (При условии, что $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \neq b$).

$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{1(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.

В результате получаем:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.

6) Для дроби $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3}+1$.

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

Знаменатель по формуле разности квадратов: $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.

Числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Получаем дробь:

$\frac{4+2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{2} = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

558. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$;

2) $\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}};$

3) $\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}};$

4) $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением для $\sqrt{5} - 2$ является $\sqrt{5} + 2$.

Выполним умножение:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

В числителе раскроем скобки:

$\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 2 = 5 + 2\sqrt{5}$

В результате получаем дробь:

$\frac{5 + 2\sqrt{5}}{1} = 5 + 2\sqrt{5}$

Ответ: $5 + 2\sqrt{5}$

2) Для дроби $\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$ сопряженным выражением для знаменателя является $\sqrt{10} + \sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8$

Подставим полученное значение в выражение и сократим дробь:

$\frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \sqrt{10} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{10} + \sqrt{2}$

3) Для дроби $\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ сопряженным выражением для знаменателя является $\sqrt{x} - \sqrt{y}$. Умножим числитель и знаменатель на него (при условии, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x \neq y$).

$\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$

Применим формулу разности квадратов к знаменателю:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

В результате получаем:

$\frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

Ответ: $\frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

4) Для дроби $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ сопряженным выражением для знаменателя является $2 - \sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$

Вычислим значение знаменателя:

$2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$

Теперь преобразуем числитель, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2 - \sqrt{2})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$

Подставим полученные выражения в дробь и упростим:

$\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 - 2\sqrt{2})}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$

559. Докажите равенство:

1) $\frac{1}{5-2\sqrt{6}} + \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = 10$;

2) $\frac{2}{3\sqrt{2}+4} - \frac{2}{3\sqrt{2}-4} = -8$;

3) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = 4\sqrt{2}$.

1) Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей исходных дробей: $(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для упрощения знаменателя:

$(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{1}{5-2\sqrt{6}} + \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (5+2\sqrt{6}) + 1 \cdot (5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} = \frac{5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}}{1} = \frac{10}{1} = 10$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства: $10 = 10$.

Ответ: Равенство доказано.

2) Преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю $(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)$.

$\frac{2}{3\sqrt{2}+4} - \frac{2}{3\sqrt{2}-4} = \frac{2(3\sqrt{2}-4) - 2(3\sqrt{2}+4)}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4) = (3\sqrt{2})^2 - 4^2 = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2$.

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$2(3\sqrt{2}-4) - 2(3\sqrt{2}+4) = 6\sqrt{2} - 8 - (6\sqrt{2} + 8) = 6\sqrt{2} - 8 - 6\sqrt{2} - 8 = -16$.

Следовательно, левая часть равна $\frac{-16}{2} = -8$.

Получили верное равенство: $-8=-8$.

Ответ: Равенство доказано.

3) Преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$.

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

Упростим числитель, используя формулы сокращенного умножения. Можно раскрыть каждый квадрат по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = 2+2\sqrt{2}+1 = 3+2\sqrt{2}$.

$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\cdot\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = 2-2\sqrt{2}+1 = 3-2\sqrt{2}$.

Тогда числитель равен: $(3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Следовательно, левая часть равна $\frac{4\sqrt{2}}{1} = 4\sqrt{2}$.

Получили верное равенство: $4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

Ответ: Равенство доказано.

560. Докажите, что значением выражения является рациональное число:

1) $ \frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}} $

2) $ \frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}} $

1) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}}$ является рациональным числом, необходимо упростить данное выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Общим знаменателем является произведение знаменателей $(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})$. Для его вычисления воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3}) = 3^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 - (4 \cdot 3) = 9 - 12 = -3$.

Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю:

$\frac{6(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} + \frac{6(3+2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} = \frac{6(3-2\sqrt{3}) + 6(3+2\sqrt{3})}{-3}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18 - 12\sqrt{3} + 18 + 12\sqrt{3}}{-3}$.

Слагаемые, содержащие корень ($-12\sqrt{3}$ и $12\sqrt{3}$), взаимно уничтожаются:

$\frac{18 + 18}{-3} = \frac{36}{-3} = -12$.

Полученное число -12 является целым. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (в данном случае $\frac{-12}{1}$). Следовательно, значение выражения является рациональным числом.

Ответ: -12.

2) Чтобы проверить утверждение, что значение выражения $\frac{\sqrt{11+\sqrt{6}}}{\sqrt{11-\sqrt{6}}} + \frac{\sqrt{11-\sqrt{6}}}{\sqrt{11+\sqrt{6}}}$ является рациональным числом, упростим его. Приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен $\sqrt{11-\sqrt{6}} \cdot \sqrt{11+\sqrt{6}}$. Упростим его, используя свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов:

$\sqrt{(11-\sqrt{6})(11+\sqrt{6})} = \sqrt{11^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{121 - 6} = \sqrt{115}$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{(\sqrt{11+\sqrt{6}})^2 + (\sqrt{11-\sqrt{6}})^2}{\sqrt{115}} = \frac{(11+\sqrt{6}) + (11-\sqrt{6})}{\sqrt{115}}$.

Упростим числитель. Слагаемые $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{6}$ взаимно уничтожаются:

$11 + 11 = 22$.

Таким образом, значение выражения равно:

$\frac{22}{\sqrt{115}}$.

Проанализируем полученный результат. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число 115 не является полным квадратом целого числа ($10^2=100$, $11^2=121$), поэтому $\sqrt{115}$ является иррациональным числом. Частное от деления ненулевого рационального числа (22) на иррациональное число ($\sqrt{115}$) также является иррациональным числом.

Следовательно, значение данного выражения является иррациональным числом, что противоречит условию задачи "докажите, что значением выражения является рациональное число". Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: Значение выражения равно $\frac{22}{\sqrt{115}}$, что является иррациональным числом. Утверждение в условии задачи неверно.

561. Упростите выражение:

1) $\frac{a}{\sqrt{a}-2} - \frac{4\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}$;

2) $\frac{\sqrt{m}+1}{\sqrt{m}-2} - \frac{\sqrt{m}+3}{\sqrt{m}} \text{;}$

3) $\frac{\sqrt{y}+4}{\sqrt{xy}+y} - \frac{\sqrt{x}-4}{x+\sqrt{xy}} \text{;}$

4) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4} - \frac{a}{a-16} \text{;}$

5) $\frac{a}{\sqrt{ab}-b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} \text{;}$

6) $\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2\sqrt{a}+2} \text{;}$

7) $\frac{\sqrt{c}-5}{\sqrt{c}} : \frac{c-25}{3c} \text{;}$

8) $(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a}+1}) : \frac{\sqrt{a}}{a-1} \text{;}$

9) $(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \text{;}$

$(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3} + \frac{12\sqrt{x}}{x-9}) : \frac{\sqrt{x}+3}{x-3\sqrt{x}} \text{;}$

1) Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители: $ \frac{a}{\sqrt{a}-2} - \frac{4\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2} = \frac{a - (4\sqrt{a}-4)}{\sqrt{a}-2} = \frac{a - 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}-2} $.
Числитель $ a - 4\sqrt{a} + 4 $ является полным квадратом разности: $ (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a} + 2^2 = (\sqrt{a}-2)^2 $.
Подставим это в выражение: $ \frac{(\sqrt{a}-2)^2}{\sqrt{a}-2} $.
Сократим дробь на $ (\sqrt{a}-2) $, при условии, что $ \sqrt{a}-2 \neq 0 $: $ \sqrt{a}-2 $.
Ответ: $ \sqrt{a}-2 $.

2) Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{m}(\sqrt{m}-2) $: $ \frac{\sqrt{m}+1}{\sqrt{m}-2} - \frac{\sqrt{m}+3}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+1) - (\sqrt{m}+3)(\sqrt{m}-2)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} $.
Раскроем скобки в числителе: $ \sqrt{m}(\sqrt{m}+1) = m+\sqrt{m} $. $ (\sqrt{m}+3)(\sqrt{m}-2) = m - 2\sqrt{m} + 3\sqrt{m} - 6 = m + \sqrt{m} - 6 $.
Подставим и упростим числитель: $ \frac{(m+\sqrt{m}) - (m + \sqrt{m} - 6)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} = \frac{m+\sqrt{m} - m - \sqrt{m} + 6}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} = \frac{6}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} $.
Можно раскрыть скобки в знаменателе: $ \frac{6}{m-2\sqrt{m}} $.
Ответ: $ \frac{6}{m-2\sqrt{m}} $.

3) Разложим на множители знаменатели: $ \sqrt{xy}+y = \sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $. $ x+\sqrt{xy} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $.
Выражение примет вид: $ \frac{\sqrt{y}+4}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} - \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Приведем к общему знаменателю $ \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $: $ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}+4) - \sqrt{y}(\sqrt{x}-4)}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Раскроем скобки в числителе: $ \frac{\sqrt{xy}+4\sqrt{x} - \sqrt{xy}+4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{4\sqrt{x}+4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Вынесем 4 за скобки в числителе: $ \frac{4(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Сократим на $ (\sqrt{x}+\sqrt{y}) $: $ \frac{4}{\sqrt{xy}} $.
Ответ: $ \frac{4}{\sqrt{xy}} $.

4) Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $ a-16 = (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4) $. $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4} - \frac{a}{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4)} $.
Приведем к общему знаменателю $ (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4) $: $ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-4) - a}{(\sqrt{a}+4)(\sqrt{a}-4)} = \frac{a-4\sqrt{a}-a}{a-16} = \frac{-4\sqrt{a}}{a-16} $.
Ответ: $ \frac{-4\sqrt{a}}{a-16} $.

5) Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ \sqrt{ab}-b = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $.
Знаменатель второй дроби: $ \sqrt{b}-\sqrt{a} = -(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $.
Перепишем выражение: $ \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}}{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.
Приведем к общему знаменателю $ \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $: $ \frac{a - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a-b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $: $ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Сократим на $ (\sqrt{a}-\sqrt{b}) $: $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} $.

6) Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй: $ a+\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+1) $. $ 2\sqrt{a}+2 = 2(\sqrt{a}+1) $.
Выражение примет вид: $ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2(\sqrt{a}+1)} $.
Перемножим дроби и сократим общие множители $ (\sqrt{a}+1) $: $ \frac{\sqrt{a} \cdot b}{2\sqrt{b}} $.
Так как $ b = (\sqrt{b})^2 $, то $ \frac{b}{\sqrt{b}} = \sqrt{b} $. $ \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{2} = \frac{\sqrt{ab}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{ab}}{2} $.

7) Заменим деление умножением на обратную дробь: $ \frac{\sqrt{c}-5}{\sqrt{c}} \cdot \frac{3c}{c-25} $.
Разложим $ c-25 $ по формуле разности квадратов: $ c-25 = (\sqrt{c}-5)(\sqrt{c}+5) $. $ \frac{\sqrt{c}-5}{\sqrt{c}} \cdot \frac{3c}{(\sqrt{c}-5)(\sqrt{c}+5)} $.
Сократим общие множители $ (\sqrt{c}-5) $: $ \frac{3c}{\sqrt{c}(\sqrt{c}+5)} $.
Так как $ c = (\sqrt{c})^2 $, то $ \frac{c}{\sqrt{c}} = \sqrt{c} $. $ \frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c}+5} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c}+5} $.

8) Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $ \sqrt{a}+1 $: $ \sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)-a}{\sqrt{a}+1} = \frac{a+\sqrt{a}-a}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} : \frac{\sqrt{a}}{a-1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}} $.
Разложим $ a-1 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) $: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \cdot \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}} $.
Сократим общие множители $ \sqrt{a} $ и $ (\sqrt{a}+1) $: $ \sqrt{a}-1 $.
Ответ: $ \sqrt{a}-1 $.

9) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $: $ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
В числителе используем формулу разности квадратов: $ \frac{(a-b) + b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.
Сократим $ \sqrt{b} $: $ \frac{a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Так как $ a = (\sqrt{a})^2 $, то $ \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} $: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.

10) Упростим выражение в скобках. Разложим $ x-9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) $.
Приведем к общему знаменателю $ x-9 $: $ \frac{(\sqrt{x}-3)^2 + 12\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{x-6\sqrt{x}+9+12\sqrt{x}}{x-9} = \frac{x+6\sqrt{x}+9}{x-9} $.
Числитель является полным квадратом суммы: $ x+6\sqrt{x}+9 = (\sqrt{x}+3)^2 $.
Выражение в скобках равно: $ \frac{(\sqrt{x}+3)^2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} : \frac{\sqrt{x}+3}{x-3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} \cdot \frac{x-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} $.
Разложим на множители $ x-3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-3) $: $ \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+3} $.
Сократим общие множители $ (\sqrt{x}+3) $ и $ (\sqrt{x}-3) $: $ \sqrt{x} $.
Ответ: $ \sqrt{x} $.

562. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a}};$

2) $\frac{\sqrt{a} + 1}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{ab} - b};$

3) $\frac{\sqrt{x}}{y - 2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y} - 6};$

4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \left( \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \right);$

5) $\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x - 1} \right) \cdot \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1};$

6) $\frac{a - 64}{\sqrt{a} + 3} \cdot \frac{1}{a + 8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 8}{a - 3\sqrt{a}}.$

1) $\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1}$ и $\frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$ это $\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)$.

$\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} - \frac{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3) - (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\sqrt{a}(\sqrt{a}-3) = a - 3\sqrt{a}$

$(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + 1\cdot\sqrt{a} - 4\cdot\sqrt{a} - 4\cdot1 = a - 3\sqrt{a} - 4$

Теперь выполним вычитание в числителе:

$(a - 3\sqrt{a}) - (a - 3\sqrt{a} - 4) = a - 3\sqrt{a} - a + 3\sqrt{a} + 4 = 4$

Подставим полученное значение в числитель дроби:

$\frac{4}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{4}{a+\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{4}{a+\sqrt{a}}$

2) $\frac{\sqrt{a}+1}{a-\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{ab}-b}$

Сначала упростим знаменатели дробей, вынеся общие множители за скобки:

$a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

$\sqrt{ab}-b = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} - \sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

Общий знаменатель равен $\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Приведем дроби к нему:

$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1) - \sqrt{a}(\sqrt{b}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\sqrt{b}\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{a}\sqrt{b} - \sqrt{a} = \sqrt{b} - \sqrt{a} = -(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

Подставим результат в дробь и сократим:

$\frac{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = -\frac{1}{\sqrt{ab}}$

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{ab}}$

3) $\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y}-6}$

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} \cdot \frac{3\sqrt{y}-6}{\sqrt{x}}$

Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби и числителе второй:

$y-2\sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y}-2)$

$3\sqrt{y}-6 = 3(\sqrt{y}-2)$

Подставим в выражение:

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}(\sqrt{y}-2)} \cdot \frac{3(\sqrt{y}-2)}{\sqrt{x}}$

Сократим одинаковые множители $\sqrt{x}$ и $(\sqrt{y}-2)$:

$\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{y}}$

4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \left(\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}\right)$

Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель $\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:

$\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} + \frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}$

Сложим числители. В первом слагаемом используем формулу разности квадратов $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n}) = m-n$:

$\frac{(m-n)+n}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}$

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{m}$

Сократим $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:

$\frac{\sqrt{m}\sqrt{n}}{m} = \frac{\sqrt{mn}}{m}$

Так как $m = (\sqrt{m})^2$, можно упростить дальше:

$\frac{\sqrt{m}\sqrt{n}}{(\sqrt{m})^2} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$

5) $\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{x-1}\right) \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{(\sqrt{x}+1)^2 - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{(x+2\sqrt{x}+1) - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{x-2\sqrt{x}+1}{x-1}$

Числитель $x-2\sqrt{x}+1$ является полным квадратом $(\sqrt{x}-1)^2$. Подставим и сократим:

$\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения:

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Вынесем $\sqrt{x}$ в числителе второй дроби: $x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$.

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}$

Сократим общие множители $(\sqrt{x}-1)$ и $(\sqrt{x}+1)$:

$\sqrt{x}$

Ответ: $\sqrt{x}$

6) $\frac{a-64}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{a+8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+8}{a-3\sqrt{a}}$

Рассмотрим первое слагаемое. Разложим на множители $a-64 = (\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)$ и $a+8\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+8)$:

$\frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+8)} = \frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}$

Рассмотрим второе слагаемое. Разложим на множители знаменатель $a-3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-3)$:

$\frac{\sqrt{a}+8}{a-3\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)} - \frac{\sqrt{a}+8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$

Общий знаменатель: $\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3) = \sqrt{a}(a-9)$.

$\frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(a-9)} - \frac{(\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3) - (\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(a-9)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3) = a - 3\sqrt{a} - 8\sqrt{a} + 24 = a - 11\sqrt{a} + 24$

$(\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3) = a + 3\sqrt{a} + 8\sqrt{a} + 24 = a + 11\sqrt{a} + 24$

Вычтем второе из первого:

$(a - 11\sqrt{a} + 24) - (a + 11\sqrt{a} + 24) = a - 11\sqrt{a} + 24 - a - 11\sqrt{a} - 24 = -22\sqrt{a}$

Подставим результат в дробь и сократим:

$\frac{-22\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{-22}{a-9}$

Ответ: $\frac{-22}{a-9}$