Номер 565, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 565, страница 142.
№565 (с. 142)
Условие. №565 (с. 142)
скриншот условия

565. Внесите множитель под знак корня:
1) $a\sqrt{3}$;
2) $b\sqrt{-b}$;
3) $c\sqrt{c^5}$;
4) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$;
5) $xy^2\sqrt{xy}$, если $x \le 0$;
6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$;
7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$;
8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если $a \ge 0$.
Решение 1. №565 (с. 142)








Решение 2. №565 (с. 142)

Решение 3. №565 (с. 142)

Решение 4. №565 (с. 142)

Решение 5. №565 (с. 142)

Решение 7. №565 (с. 142)

Решение 8. №565 (с. 142)
Для внесения множителя под знак квадратного корня используется следующее правило:
- Если множитель $A$ неотрицательный ($A \ge 0$), то $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 B}$.
- Если множитель $A$ отрицательный ($A < 0$), то $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}$.
Рассмотрим каждый пример подробно.
1) $a\sqrt{3}$
Знак множителя $a$ не указан, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Если $a \ge 0$, то множитель неотрицательный. Вносим его под корень, возведя в квадрат:
$a\sqrt{3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$
Случай 2: Если $a < 0$, то множитель отрицательный. При внесении под корень перед ним ставится знак «минус»:
$a\sqrt{3} = -|a|\sqrt{3} = -\sqrt{|a|^2 \cdot 3} = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$
Ответ: $\sqrt{3a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{3a^2}$, если $a < 0$.
2) $b\sqrt{-b}$
Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-b \ge 0$, откуда следует, что $b \le 0$.
Поскольку множитель $b$ неположительный, при внесении его под знак корня, перед корнем ставится знак «минус», а под корень вносится квадрат множителя:
$b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b)} = -\sqrt{-b^3}$
Ответ: $-\sqrt{-b^3}$.
3) $c\sqrt{c^5}$
Выражение имеет смысл при $c^5 \ge 0$, что выполняется, если $c \ge 0$.
Так как множитель $c$ неотрицательный, вносим его под корень, возводя в квадрат:
$c\sqrt{c^5} = \sqrt{c^2 \cdot c^5} = \sqrt{c^{2+5}} = \sqrt{c^7}$
Ответ: $\sqrt{c^7}$.
4) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$
По условию множитель $m$ неотрицательный. Также для существования корня необходимо, чтобы $n \ge 0$.
Вносим неотрицательный множитель $m$ под корень, возводя его в квадрат:
$m\sqrt{n} = \sqrt{m^2 \cdot n} = \sqrt{m^2n}$
Ответ: $\sqrt{m^2n}$.
5) $xy^2\sqrt{xy}$, если $x \le 0$
Подкоренное выражение $xy$ должно быть неотрицательно: $xy \ge 0$. Так как по условию $x \le 0$, это возможно только если $y \le 0$ (или в случае $x=0$, когда $y$ любое число).
Определим знак множителя $xy^2$. Так как $x \le 0$ и $y^2 \ge 0$, то их произведение $xy^2 \le 0$.
Поскольку множитель $xy^2$ неположительный, при внесении его под корень ставим знак «минус»:
$xy^2\sqrt{xy} = -\sqrt{(xy^2)^2 \cdot (xy)} = -\sqrt{(x^2y^4) \cdot (xy)} = -\sqrt{x^3y^5}$
Ответ: $-\sqrt{x^3y^5}$.
6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$
Выражение имеет смысл при $\frac{p}{2} \ge 0$, то есть $p \ge 0$.
При $p \ge 0$ множитель $2p$ также неотрицателен. Вносим его под корень, возводя в квадрат:
$2p\sqrt{\frac{p}{2}} = \sqrt{(2p)^2 \cdot \frac{p}{2}} = \sqrt{4p^2 \cdot \frac{p}{2}} = \sqrt{\frac{4p^3}{2}} = \sqrt{2p^3}$
Ответ: $\sqrt{2p^3}$.
7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$
Выражение имеет смысл при $-\frac{p}{2} \ge 0$, то есть $p \le 0$.
При $p \le 0$ множитель $2p$ неположителен. При внесении его под корень ставим знак «минус»:
$2p\sqrt{-\frac{p}{2}} = -\sqrt{(2p)^2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right)} = -\sqrt{4p^2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right)} = -\sqrt{-\frac{4p^3}{2}} = -\sqrt{-2p^3}$
Ответ: $-\sqrt{-2p^3}$.
8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если $a \ge 0$
По условию $a \ge 0$. Подкоренное выражение $\frac{a}{b}$ должно быть неотрицательно, а знаменатель не должен быть равен нулю. Из этих условий следует, что $b > 0$.
Определим знак множителя $ab^2$. При $a \ge 0$ и $b > 0$, множитель $ab^2$ неотрицателен.
Вносим неотрицательный множитель под корень, возведя его в квадрат:
$ab^2\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{(ab^2)^2 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{(a^2b^4) \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^3b^4}{b}} = \sqrt{a^3b^3} = \sqrt{(ab)^3}$
Ответ: $\sqrt{(ab)^3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 565 расположенного на странице 142 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №565 (с. 142), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.