Номер 565, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 565, страница 142.

Условие.

565. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{3}$;

2) $b\sqrt{-b}$;

3) $c\sqrt{c^5}$;

4) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$;

5) $xy^2\sqrt{xy}$, если $x \le 0$;

6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$;

7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$;

8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если $a \ge 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для внесения множителя под знак квадратного корня используется следующее правило:

• Если множитель $A$ неотрицательный ($A \ge 0$), то $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 B}$.
• Если множитель $A$ отрицательный ($A < 0$), то $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}$.

Рассмотрим каждый пример подробно.

1) $a\sqrt{3}$

Знак множителя $a$ не указан, поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Если $a \ge 0$, то множитель неотрицательный. Вносим его под корень, возведя в квадрат:

$a\sqrt{3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$

Случай 2: Если $a < 0$, то множитель отрицательный. При внесении под корень перед ним ставится знак «минус»:

$a\sqrt{3} = -|a|\sqrt{3} = -\sqrt{|a|^2 \cdot 3} = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$

Ответ: $\sqrt{3a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{3a^2}$, если $a < 0$.

2) $b\sqrt{-b}$

Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-b \ge 0$, откуда следует, что $b \le 0$.

Поскольку множитель $b$ неположительный, при внесении его под знак корня, перед корнем ставится знак «минус», а под корень вносится квадрат множителя:

$b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b)} = -\sqrt{-b^3}$

Ответ: $-\sqrt{-b^3}$.

3) $c\sqrt{c^5}$

Выражение имеет смысл при $c^5 \ge 0$, что выполняется, если $c \ge 0$.

Так как множитель $c$ неотрицательный, вносим его под корень, возводя в квадрат:

$c\sqrt{c^5} = \sqrt{c^2 \cdot c^5} = \sqrt{c^{2+5}} = \sqrt{c^7}$

Ответ: $\sqrt{c^7}$.

4) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$

По условию множитель $m$ неотрицательный. Также для существования корня необходимо, чтобы $n \ge 0$.

Вносим неотрицательный множитель $m$ под корень, возводя его в квадрат:

$m\sqrt{n} = \sqrt{m^2 \cdot n} = \sqrt{m^2n}$

Ответ: $\sqrt{m^2n}$.

5) $xy^2\sqrt{xy}$, если $x \le 0$

Подкоренное выражение $xy$ должно быть неотрицательно: $xy \ge 0$. Так как по условию $x \le 0$, это возможно только если $y \le 0$ (или в случае $x=0$, когда $y$ любое число).

Определим знак множителя $xy^2$. Так как $x \le 0$ и $y^2 \ge 0$, то их произведение $xy^2 \le 0$.

Поскольку множитель $xy^2$ неположительный, при внесении его под корень ставим знак «минус»:

$xy^2\sqrt{xy} = -\sqrt{(xy^2)^2 \cdot (xy)} = -\sqrt{(x^2y^4) \cdot (xy)} = -\sqrt{x^3y^5}$

Ответ: $-\sqrt{x^3y^5}$.

6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$

Выражение имеет смысл при $\frac{p}{2} \ge 0$, то есть $p \ge 0$.

При $p \ge 0$ множитель $2p$ также неотрицателен. Вносим его под корень, возводя в квадрат:

$2p\sqrt{\frac{p}{2}} = \sqrt{(2p)^2 \cdot \frac{p}{2}} = \sqrt{4p^2 \cdot \frac{p}{2}} = \sqrt{\frac{4p^3}{2}} = \sqrt{2p^3}$

Ответ: $\sqrt{2p^3}$.

7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$

Выражение имеет смысл при $-\frac{p}{2} \ge 0$, то есть $p \le 0$.

При $p \le 0$ множитель $2p$ неположителен. При внесении его под корень ставим знак «минус»:

$2p\sqrt{-\frac{p}{2}} = -\sqrt{(2p)^2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right)} = -\sqrt{4p^2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right)} = -\sqrt{-\frac{4p^3}{2}} = -\sqrt{-2p^3}$

Ответ: $-\sqrt{-2p^3}$.

8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если $a \ge 0$

По условию $a \ge 0$. Подкоренное выражение $\frac{a}{b}$ должно быть неотрицательно, а знаменатель не должен быть равен нулю. Из этих условий следует, что $b > 0$.

Определим знак множителя $ab^2$. При $a \ge 0$ и $b > 0$, множитель $ab^2$ неотрицателен.

Вносим неотрицательный множитель под корень, возведя его в квадрат:

$ab^2\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{(ab^2)^2 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{(a^2b^4) \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^3b^4}{b}} = \sqrt{a^3b^3} = \sqrt{(ab)^3}$

Ответ: $\sqrt{(ab)^3}$.