Номер 585, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 585, страница 147.

Условие.

585. Сравните числа:

1) $\sqrt{86}$ и $\sqrt{78}$;

2) $\sqrt{1,4}$ и $\sqrt{1,6}$;

3) $5$ и $\sqrt{26}$;

4) $\sqrt{\frac{6}{7}}$ и $1$;

5) $-7$ и $-\sqrt{48}$;

6) $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$;

7) $\sqrt{41}$ и $2\sqrt{10}$;

8) $0,6\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{1,1}$;

9) $\sqrt{75}$ и $4\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{86}$ и $\sqrt{78}$ необходимо сравнить их подкоренные выражения. Это возможно, так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Сравниваем числа 86 и 78. Поскольку $86 > 78$, то и $\sqrt{86} > \sqrt{78}$.

Ответ: $\sqrt{86} > \sqrt{78}$.

2) Сравниваем числа $\sqrt{1,4}$ и $\sqrt{1,6}$. Аналогично предыдущему пункту, сравниваем подкоренные выражения 1,4 и 1,6. Так как $1,4 < 1,6$, то $\sqrt{1,4} < \sqrt{1,6}$.

Ответ: $\sqrt{1,4} < \sqrt{1,6}$.

3) Чтобы сравнить числа 5 и $\sqrt{26}$, представим число 5 в виде квадратного корня. Для этого возведем 5 в квадрат и поместим результат под знак корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$. Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{25}$ и $\sqrt{26}$. Поскольку $25 < 26$, то $\sqrt{25} < \sqrt{26}$, а значит $5 < \sqrt{26}$.

Ответ: $5 < \sqrt{26}$.

4) Чтобы сравнить $\sqrt{\frac{6}{7}}$ и 1, представим число 1 в виде квадратного корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним подкоренные выражения $\frac{6}{7}$ и 1. Дробь $\frac{6}{7}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), поэтому она меньше единицы. Так как $\frac{6}{7} < 1$, то и $\sqrt{\frac{6}{7}} < \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{\frac{6}{7}} < 1$.

Ответ: $\sqrt{\frac{6}{7}} < 1$.

5) Сравним отрицательные числа -7 и $-\sqrt{48}$. Для этого сначала сравним их модули (положительные значения): 7 и $\sqrt{48}$. Представим 7 в виде корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$. Теперь сравним $\sqrt{49}$ и $\sqrt{48}$. Так как $49 > 48$, то $\sqrt{49} > \sqrt{48}$, а значит $7 > \sqrt{48}$. При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: из $a > b$ следует, что $-a < -b$. Следовательно, $-7 < -\sqrt{48}$.

Ответ: $-7 < -\sqrt{48}$.

6) Чтобы сравнить $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$, внесем множители перед корнями под знак корня. Для этого возведем их в квадрат.
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Теперь сравним полученные выражения $\sqrt{18}$ и $\sqrt{12}$. Так как $18 > 12$, то $\sqrt{18} > \sqrt{12}$, а значит $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$.

7) Чтобы сравнить $\sqrt{41}$ и $2\sqrt{10}$, внесем множитель 2 под знак корня во втором выражении: $2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$. Теперь сравним $\sqrt{41}$ и $\sqrt{40}$. Так как $41 > 40$, то $\sqrt{41} > \sqrt{40}$, а значит $\sqrt{41} > 2\sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{41} > 2\sqrt{10}$.

8) Сравним $0,6\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{1,1}$. Преобразуем первое выражение. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную, а десятичную — в обыкновенную:
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Теперь первое выражение имеет вид $\frac{3}{5}\sqrt{\frac{10}{3}}$. Внесем множитель $\frac{3}{5}$ под знак корня:
$\frac{3}{5}\sqrt{\frac{10}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{9}{25} \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10}{25 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$.
Переведем дробь под корнем в десятичную для удобства сравнения: $\sqrt{\frac{6}{5}} = \sqrt{1,2}$.
Теперь сравним $\sqrt{1,2}$ и $\sqrt{1,1}$. Так как $1,2 > 1,1$, то $\sqrt{1,2} > \sqrt{1,1}$. Следовательно, $0,6\sqrt{3\frac{1}{3}} > \sqrt{1,1}$.

Ответ: $0,6\sqrt{3\frac{1}{3}} > \sqrt{1,1}$.

9) Сравним $\sqrt{75}$ и $4\sqrt{3}$. Можно пойти двумя путями: внести множитель под корень во втором выражении или вынести множитель из-под корня в первом. Второй способ проще.
Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{75}$. Для этого разложим 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь сравним $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3}$ - это положительный общий множитель, достаточно сравнить коэффициенты 5 и 4. Так как $5 > 4$, то и $5\sqrt{3} > 4\sqrt{3}$. Следовательно, $\sqrt{75} > 4\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{75} > 4\sqrt{3}$.