Номер 5, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Вопросы - номер 5, страница 147.

Условие.

5. Какая фигура является графиком функции $y = \sqrt{x}$?

Решение 2.

Решение 8.

Чтобы определить, какая фигура является графиком функции $y = \sqrt{x}$, проанализируем свойства этой функции и связанное с ней уравнение.

1. Область определения и область значений.
Функция квадратного корня определена только для неотрицательных подкоренных выражений, следовательно, область определения: $x \ge 0$.
По определению, арифметический квадратный корень (который обозначается знаком $\sqrt{}$) является неотрицательным числом, поэтому область значений функции: $y \ge 0$.
Это означает, что график функции целиком расположен в первой координатной четверти, включая ее границы (положительные полуоси и начало координат).

2. Анализ формы графика.
Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{x}$. Чтобы определить тип кривой, возведем обе части уравнения в квадрат. Так как мы знаем, что $y \ge 0$, это преобразование не приведет к появлению посторонних решений для нашей функции.

$y^2 = (\sqrt{x})^2$

$x = y^2$

Уравнение $x = y^2$ — это каноническое уравнение параболы. В отличие от более привычной параболы $y = x^2$, осью симметрии которой является ось ординат (Oy), у параболы $x = y^2$ осью симметрии является ось абсцисс (Ox), а ее ветви направлены вправо, в сторону положительных значений $x$. Вершина этой параболы находится в начале координат, в точке (0, 0).

Однако, как было установлено в пункте 1, для функции $y = \sqrt{x}$ должно выполняться условие $y \ge 0$. Уравнение $x = y^2$ описывает полную параболу, состоящую из двух ветвей, симметричных относительно оси Ox: верхней ($y \ge 0$) и нижней ($y \le 0$). Условие $y \ge 0$ отсекает нижнюю ветвь.

Таким образом, график функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой не всю параболу, а только ее верхнюю ветвь.

Ответ: Графиком функции $y = \sqrt{x}$ является ветвь параболы.