Номер 7, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 7, страница 147.

Условие.

7. Известно, что $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Сравните числа $a$ и $b$.

Решение 2.

Решение 8.

Для сравнения чисел a и b, необходимо проанализировать данное неравенство, используя свойства функции квадратного корня.

По условию нам известно, что:
$\sqrt{a} < \sqrt{b}$

Функция арифметического квадратного корня $y = \sqrt{x}$ определена только для неотрицательных значений аргумента $x$. Это значит, что подкоренные выражения должны быть больше либо равны нулю:
$a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. И наоборот, если значение функции $y_1$ меньше значения функции $y_2$, то и соответствующий аргумент $x_1$ будет меньше аргумента $x_2$.

Альтернативным способом решения является возведение обеих частей неравенства в квадрат. Так как обе части неравенства $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ неотрицательны, при возведении их в квадрат знак неравенства сохранится:
$(\sqrt{a})^2 < (\sqrt{b})^2$

По определению квадратного корня, $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого $x \ge 0$. Применяя это свойство, получаем:
$a < b$

Ответ: $a < b$