Номер 2, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Вопросы - номер 2, страница 147.

Условие.

2. Какова область значений функции $y = \sqrt{x}$?

Решение 2.

Решение 8.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях независимой переменной $x$.

Рассматривается функция $y = \sqrt{x}$. Символ $\sqrt{}$ обозначает арифметический квадратный корень. По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $x$ является неотрицательным числом, квадрат которого равен $x$.

Из этого определения следует, что значение функции $y$ не может быть отрицательным. Таким образом, для любого значения $x$ из области определения функции (а это $x \ge 0$), выполняется условие $y \ge 0$.

Теперь проверим, может ли $y$ принять любое неотрицательное значение. Возьмем произвольное неотрицательное число $k$ ($k \ge 0$) и попробуем найти такое $x$, чтобы выполнялось равенство $\sqrt{x} = k$. Чтобы найти $x$, возведем обе части равенства в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = k^2$, откуда получаем $x = k^2$.

Так как $k$ — неотрицательное число, то $x = k^2$ также будет неотрицательным ($x \ge 0$) и, следовательно, входит в область определения функции. Это доказывает, что для любого неотрицательного числа $k$ существует соответствующий $x$, при котором функция $y = \sqrt{x}$ примет значение $k$.

Следовательно, область значений функции $y = \sqrt{x}$ включает в себя все неотрицательные действительные числа.

Ответ: Множество всех неотрицательных чисел, то есть промежуток $[0, +\infty)$.