Номер 6, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 6, страница 147.

Условие.

6. Неотрицательные числа $a$ и $b$ таковы, что $a > b$. Сравните $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$.

Решение 2.

Решение 8.

По условию, даны неотрицательные числа $a$ и $b$, причём $a > b$. Это можно записать в виде двойного неравенства $a > b \ge 0$. Требуется сравнить $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$.

Для того чтобы сравнить два выражения, удобно рассмотреть их разность и определить её знак. Составим разность: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Поскольку по условию $a > b \ge 0$, то оба корня, $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$, существуют. При этом $a$ является строго положительным числом, а $b$ — неотрицательным. Это означает, что $\sqrt{a}$ — положительное число, а $\sqrt{b}$ — неотрицательное число. Следовательно, их сумма $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ является строго положительным числом.

Преобразуем разность $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, умножив и разделив её на сопряжённое выражение $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

В числителе дроби воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$

Таким образом, наша разность равна:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Теперь проанализируем знак полученной дроби:

1. Числитель дроби, $(a - b)$, является положительным, так как по условию задачи $a > b$.

2. Знаменатель дроби, $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, также является положительным, как было показано выше.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби являются положительными числами, то значение всей дроби также положительно.

Это означает, что разность $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ больше нуля:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$

Из этого неравенства, перенеся $\sqrt{b}$ в правую часть, получаем окончательный результат:

$\sqrt{a} > \sqrt{b}$

Этот результат также следует из свойства монотонности функции $y=\sqrt{x}$. Так как эта функция является возрастающей для всех неотрицательных $x$, то из неравенства $a > b$ следует неравенство $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.