Номер 8, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 8, страница 160.

Условие.

8. Какие существуют виды неполных квадратных уравнений? Какие корни имеет уравнение каждого вида?

Решение 2.

Решение 8.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего ($b$ или $c$), равен нулю. Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. Уравнение вида $ax^2 + c = 0$ (при $b=0, c \neq 0$)

В этом уравнении отсутствует член с $x$ в первой степени. Для его решения перенесем свободный член $c$ в правую часть уравнения и разделим обе части на коэффициент $a$:
$ax^2 = -c$
$x^2 = -\frac{c}{a}$

Дальнейшее решение зависит от знака выражения в правой части:

- Если $-\frac{c}{a} > 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки), уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

- Если $-\frac{c}{a} < 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: если знаки коэффициентов $a$ и $c$ разные, то уравнение имеет два корня $x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$ и $x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$; если знаки $a$ и $c$ одинаковые, то действительных корней нет.

2. Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (при $c=0, b \neq 0$)

В этом уравнении отсутствует свободный член $c$. Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(ax + b) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:
1) $x = 0$
2) $ax + b = 0$

Из первого случая сразу получаем первый корень $x_1 = 0$.
Решая второе линейное уравнение, находим второй корень:
$ax = -b$
$x_2 = -\frac{b}{a}$

Таким образом, уравнение этого вида всегда имеет два действительных корня, один из которых всегда равен нулю.

Ответ: уравнение всегда имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$.

3. Уравнение вида $ax^2 = 0$ (при $b=0$ и $c=0$)

В этом уравнении и коэффициент $b$, и свободный член $c$ равны нулю. Так как по определению квадратного уравнения $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $a$:
$x^2 = \frac{0}{a}$
$x^2 = 0$

Единственное число, квадрат которого равен нулю, это ноль. Следовательно, уравнение имеет единственный корень (иногда говорят о двух совпадающих корнях).

Ответ: уравнение имеет один корень $x=0$.