Страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Значение какого выражения называют дискриминантом квадратного уравнения?

1. В алгебре квадратным уравнением называют уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ является переменной, а $a, b$ и $c$ — числовыми коэффициентами, при условии, что $a \neq 0$. Для анализа и решения таких уравнений используется специальная величина, называемая дискриминантом.

Дискриминант (от латинского слова discriminans, что означает «различающий») — это значение, вычисляемое на основе коэффициентов квадратного уравнения. Его основная роль — определять количество и тип корней уравнения. Обозначается дискриминант, как правило, заглавной буквой $D$.

Значение дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находят по следующей формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Знак полученного значения $D$ позволяет сделать вывод о корнях уравнения:

• Если дискриминант положителен ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня.

• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет ровно один действительный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих действительных корня).

• Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются парой комплексно-сопряжённых чисел.

Ответ: Дискриминантом квадратного уравнения называют значение выражения $b^2 - 4ac$.

2. Как зависит количество корней квадратного уравнения от знака дискриминанта?

Количество корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) полностью определяется знаком его дискриминанта. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В зависимости от того, является ли дискриминант положительным, отрицательным или равным нулю, существует три возможных случая.

1. Если дискриминант больше нуля ($D > 0$)

Когда дискриминант является положительным числом, квадратное уравнение имеет два различных (неравных) действительных корня. Эти корни находятся по общей формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Мы получаем два уникальных решения, так как прибавляем и вычитаем положительное значение $\sqrt{D}$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Ответ: уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$)

Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. В этом случае также говорят, что уравнение имеет два совпадающих действительных корня. Формула для нахождения корней упрощается, поскольку $\sqrt{D} = \sqrt{0} = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$

Таким образом, единственный корень вычисляется по формуле:

$x = -\frac{b}{2a}$

Ответ: уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).

3. Если дискриминант меньше нуля ($D < 0$)

Когда дискриминант является отрицательным числом, квадратное уравнение не имеет действительных (вещественных) корней. Это связано с тем, что в множестве действительных чисел невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Выражение $\sqrt{D}$ при $D < 0$ не определено в действительных числах, и, следовательно, формула корней становится неприменимой.

(Примечание: в множестве комплексных чисел такое уравнение имеет два сопряженных комплексных корня, но в стандартном курсе алгебры рассматриваются только действительные корни).

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

3. Запишите формулу корней квадратного уравнения.

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Корни такого уравнения находятся с помощью специальной формулы, которая использует понятие дискриминанта. Решение состоит из двух шагов.

1. Вычисление дискриминанта (D)
Сначала необходимо вычислить значение дискриминанта по формуле, в которую подставляются коэффициенты уравнения:

$D = b^2 - 4ac$

2. Нахождение корней в зависимости от значения дискриминанта
Знак дискриминанта определяет, сколько действительных корней имеет уравнение:

• Если $D > 0$ (дискриминант положителен), уравнение имеет два различных действительных корня. Они вычисляются по общей формуле:

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

  Это можно записать и как две отдельные формулы для каждого корня:

  $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

• Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Формула для его нахождения упрощается, так как $\sqrt{D} = 0$:

  $x = -\frac{b}{2a}$

• Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), уравнение не имеет действительных корней, так как невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа в множестве действительных чисел.

Ответ:
Формула корней для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ записывается как:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Эта формула используется, если ее подкоренное выражение (дискриминант $D = b^2 - 4ac$) является неотрицательным ($D \ge 0$). Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

4. Каким алгоритмом удобно пользоваться при решении квадратных уравнений?

При решении квадратных уравнений наиболее универсальным и удобным является алгоритм, основанный на вычислении дискриминанта. Этот метод позволяет найти корни любого квадратного уравнения, если они существуют в действительных числах.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Приведение уравнения к стандартному виду
Любое квадратное уравнение следует привести к его канонической форме: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, при этом $a \neq 0$.

2. Вычисление дискриминанта
Дискриминант ($D$) — это специальное выражение, зависящее от коэффициентов уравнения, которое помогает определить количество и характер его корней. Формула для вычисления дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac$

3. Анализ дискриминанта и нахождение корней
В зависимости от знака дискриминанта ($D$) делается вывод о количестве корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Они вычисляются по общей формуле корней квадратного уравнения:
  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
  То есть, $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (иногда говорят о двух совпадающих корнях). Формула для его нахождения упрощается:
  $x = -\frac{b}{2a}$
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. В области комплексных чисел корни существуют, но в стандартной школьной программе принято считать, что решений нет.

Ответ: универсальный алгоритм решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ состоит в вычислении дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и последующем нахождении корней по формулам $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ если $D > 0$, или $x = -\frac{b}{2a}$ если $D=0$. Если $D < 0$, действительных корней нет.

Альтернативные (частные) методы решения

Хотя метод дискриминанта работает всегда, для некоторых частных случаев существуют более быстрые и удобные способы.

1. Решение неполных квадратных уравнений:

• Если $c=0$, уравнение принимает вид $ax^2 + bx = 0$. Его легко решить вынесением общего множителя $x$ за скобки: $x(ax+b)=0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, следовательно, $x_1 = 0$ или $ax+b=0 \implies x_2 = -\frac{b}{a}$.
• Если $b=0$, уравнение принимает вид $ax^2 + c = 0$. Выражаем $x^2$: $x^2 = -\frac{c}{a}$. Если правая часть $-\frac{c}{a} \ge 0$, то уравнение имеет два корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$. Если $-\frac{c}{a} < 0$, действительных корней нет.

2. Теорема Виета:
Этот метод особенно удобен для приведенных квадратных уравнений (где $a=1$), имеющих вид $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, если у уравнения есть корни $x_1$ и $x_2$, то для них выполняются соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
Если корни уравнения — целые числа, их часто можно легко подобрать устно, анализируя делители свободного члена $q$.

Ответ: для неполных квадратных уравнений удобно использовать разложение на множители, а для приведенных уравнений с целыми корнями — теорему Виета.

656. Найдите дискриминант и определите количество корней уравнения:

1) $x^2 + 2x - 4 = 0;$

2) $x^2 - 3x + 5 = 0;$

3) $2x^2 - 6x - 3,5 = 0;$

4) $5x^2 - 2x + 0,2 = 0.$

Для определения количества корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Количество корней зависит от знака дискриминанта:
- если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня;
- если $D = 0$, уравнение имеет один корень;
- если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

657. Какое из данных уравнений имеет два корня:

1) $x^2 + 4x + 8 = 0;$

2) $3x^2 - 4x - 1 = 0;$

3) $4x^2 - 12x + 9 = 0;$

4) $2x^2 - 9x + 15 = 0?$

Чтобы определить, какое из данных уравнений имеет два корня, необходимо для каждого из них вычислить дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$ для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант больше нуля ($D > 0$).

Проанализируем каждое уравнение:

1) $x^2 + 4x + 8 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты равны $a=1$, $b=4$, $c=8$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

2) $3x^2 - 4x - 1 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты равны $a=3$, $b=-4$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$.
Поскольку $D > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня.

3) $4x^2 - 12x + 9 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты равны $a=4$, $b=-12$, $c=9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку $D = 0$, это уравнение имеет один действительный корень.

4) $2x^2 - 9x + 15 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты равны $a=2$, $b=-9$, $c=15$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 81 - 120 = -39$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное уравнение, которое имеет два корня, это уравнение под номером 2.

Ответ: 2) $3x^2 - 4x - 1 = 0$.

658. Какое из данных уравнений не имеет корней:

1) $x^2 - 6x + 4 = 0;$

2) $5x^2 - 10x + 6 = 0;$

3) $3x^2 + 4x - 2 = 0;$

4) $0,04x^2 - 0,4x + 1 = 0?$

Чтобы определить, какое из данных уравнений не имеет корней, необходимо вычислить для каждого из них дискриминант ($D$). Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант, вычисляемый по формуле $D = b^2 - 4ac$, меньше нуля ($D < 0$).

1) Для уравнения $x^2 - 6x + 4 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -6$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) Для уравнения $5x^2 - 10x + 6 = 0$ коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -10$, $c = 6$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 100 - 120 = -20$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

3) Для уравнения $3x^2 + 4x - 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 4$, $c = -2$.
Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 - (-24) = 16 + 24 = 40$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

4) Для уравнения $0,04x^2 - 0,4x + 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 0,04$, $b = -0,4$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-0,4)^2 - 4 \cdot 0,04 \cdot 1 = 0,16 - 0,16 = 0$.
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

Таким образом, единственное уравнение, у которого дискриминант отрицательный, и которое, следовательно, не имеет корней, это уравнение под номером 2.

Ответ: 2)

659. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;

2) $x^2 + 2x - 3 = 0$;

3) $x^2 + 3x - 4 = 0$;

4) $x^2 - 4x - 21 = 0$;

5) $x^2 + x - 56 = 0$;

6) $x^2 - 6x - 7 = 0$;

7) $x^2 - 8x + 12 = 0$;

8) $x^2 + 7x + 6 = 0$;

9) $-x^2 + 6x + 55 = 0$;

10) $2x^2 - 3x - 2 = 0$;

11) $2x^2 - x - 6 = 0$;

12) $3x^2 - 4x - 20 = 0$;

13) $10x^2 - 7x - 3 = 0$;

14) $-5x^2 + 7x - 2 = 0$;

15) $-6x^2 - 7x - 1 = 0$;

16) $3x^2 - 10x + 3 = 0$;

17) $-3x^2 + 7x + 6 = 0$;

18) $x^2 - 4x + 1 = 0$;

19) $2x^2 - x - 4 = 0$;

20) $x^2 - 8x + 20 = 0$.

1) Дано уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$
Ответ: 1; 3.

2) Дано уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-3$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$. $x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: -3; 1.

3) Дано уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-4$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$. $x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: -4; 1.

4) Дано уравнение $x^2 - 4x - 21 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-21$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 10}{2}$. $x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: -3; 7.

5) Дано уравнение $x^2 + x - 56 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-56$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 15}{2}$. $x_1 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $x_2 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: -8; 7.

6) Дано уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=-7$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2}$. $x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -1; 7.

7) Дано уравнение $x^2 - 8x + 12 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=12$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4}{2}$. $x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2; 6.

8) Дано уравнение $x^2 + 7x + 6 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=7$, $c=6$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 5}{2}$. $x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: -6; -1.

9) Дано уравнение $-x^2 + 6x + 55 = 0$. Умножим обе части на -1: $x^2 - 6x - 55 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=-55$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 16}{2}$. $x_1 = \frac{6 + 16}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $x_2 = \frac{6 - 16}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: -5; 11.

10) Дано уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$. $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Ответ: -0.5; 2.

11) Дано уравнение $2x^2 - x - 6 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-6$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$. $x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$
Ответ: -1.5; 2.

12) Дано уравнение $3x^2 - 4x - 20 = 0$. Коэффициенты: $a=3$, $b=-4$, $c=-20$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 16}{6}$. $x_1 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ $x_2 = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
Ответ: -2; $\frac{10}{3}$.

13) Дано уравнение $10x^2 - 7x - 3 = 0$. Коэффициенты: $a=10$, $b=-7$, $c=-3$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 49 + 120 = 169$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 10} = \frac{7 \pm 13}{20}$. $x_1 = \frac{7 + 13}{20} = \frac{20}{20} = 1$ $x_2 = \frac{7 - 13}{20} = \frac{-6}{20} = -0.3$
Ответ: -0.3; 1.

14) Дано уравнение $-5x^2 + 7x - 2 = 0$. Умножим обе части на -1: $5x^2 - 7x + 2 = 0$. Коэффициенты: $a=5$, $b=-7$, $c=2$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 3}{10}$. $x_1 = \frac{7 + 3}{10} = \frac{10}{10} = 1$ $x_2 = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$
Ответ: 0.4; 1.

15) Дано уравнение $-6x^2 - 7x - 1 = 0$. Умножим обе части на -1: $6x^2 + 7x + 1 = 0$. Коэффициенты: $a=6$, $b=7$, $c=1$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 5}{12}$. $x_1 = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$ $x_2 = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$
Ответ: -1; $-\frac{1}{6}$.

16) Дано уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=3$, $b=-10$, $c=3$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$. $x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$ $x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$; 3.

17) Дано уравнение $-3x^2 + 7x + 6 = 0$. Умножим обе части на -1: $3x^2 - 7x - 6 = 0$. Коэффициенты: $a=3$, $b=-7$, $c=-6$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 11}{6}$. $x_1 = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$ $x_2 = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$; 3.

18) Дано уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=1$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. $\sqrt{D} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. $x_1 = 2 + \sqrt{3}$, $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$; $2 + \sqrt{3}$.

19) Дано уравнение $2x^2 - x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-4$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$. $x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$; $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$.

20) Дано уравнение $x^2 - 8x + 20 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=20$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

660. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3x + 2 = 0;$

2) $x^2 + 12x - 13 = 0;$

3) $x^2 - 7x + 10 = 0;$

4) $x^2 - x - 72 = 0;$

5) $2x^2 - 5x + 2 = 0;$

6) $2x^2 - 7x - 4 = 0;$

7) $4x^2 - 3x - 1 = 0;$

8) $-2x^2 + x + 15 = 0;$

9) $6x^2 + 7x - 5 = 0;$

10) $18x^2 - 9x - 5 = 0;$

11) $x^2 - 6x + 11 = 0;$

12) $-x^2 - 8x + 12 = 0.$

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 2$.

2) $x^2 + 12x - 13 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=12, c=-13$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 14}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Ответ: $-13; 1$.

3) $x^2 - 7x + 10 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-7, c=10$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2; 5$.

4) $x^2 - x - 72 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-1, c=-72$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $-8; 9$.

5) $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2, b=-5, c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ответ: $0.5; 2$.

6) $2x^2 - 7x - 4 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2, b=-7, c=-4$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $-0.5; 4$.

7) $4x^2 - 3x - 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=4, b=-3, c=-1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -0.25$

Ответ: $-0.25; 1$.

8) $-2x^2 + x + 15 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$:

$2x^2 - x - 15 = 0$

Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-15$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$

Так как $D > 0$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Ответ: $-2.5; 3$.

9) $6x^2 + 7x - 5 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=6, b=7, c=-5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 13}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}; 0.5$.

10) $18x^2 - 9x - 5 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=18, b=-9, c=-5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-5) = 81 + 360 = 441$

Так как $D > 0$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{441}}{2 \cdot 18} = \frac{9 + 21}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{441}}{2 \cdot 18} = \frac{9 - 21}{36} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{5}{6}$.

11) $x^2 - 6x + 11 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-6, c=11$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

12) $-x^2 - 8x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 + 8x - 12 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=8, c=-12$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112$

Так как $D > 0$, найдем корни. $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

$x_1 = \frac{-8 + 4\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-4 + 2\sqrt{7})}{2} = -4 + 2\sqrt{7}$

$x_2 = \frac{-8 - 4\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-4 - 2\sqrt{7})}{2} = -4 - 2\sqrt{7}$

Ответ: $-4 - 2\sqrt{7}; -4 + 2\sqrt{7}$.