Номер 660, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 660, страница 168.

Условие.

660. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3x + 2 = 0;$

2) $x^2 + 12x - 13 = 0;$

3) $x^2 - 7x + 10 = 0;$

4) $x^2 - x - 72 = 0;$

5) $2x^2 - 5x + 2 = 0;$

6) $2x^2 - 7x - 4 = 0;$

7) $4x^2 - 3x - 1 = 0;$

8) $-2x^2 + x + 15 = 0;$

9) $6x^2 + 7x - 5 = 0;$

10) $18x^2 - 9x - 5 = 0;$

11) $x^2 - 6x + 11 = 0;$

12) $-x^2 - 8x + 12 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 2$.

2) $x^2 + 12x - 13 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=12, c=-13$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 14}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Ответ: $-13; 1$.

3) $x^2 - 7x + 10 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-7, c=10$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2; 5$.

4) $x^2 - x - 72 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-1, c=-72$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $-8; 9$.

5) $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2, b=-5, c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ответ: $0.5; 2$.

6) $2x^2 - 7x - 4 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2, b=-7, c=-4$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $-0.5; 4$.

7) $4x^2 - 3x - 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=4, b=-3, c=-1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -0.25$

Ответ: $-0.25; 1$.

8) $-2x^2 + x + 15 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$:

$2x^2 - x - 15 = 0$

Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-15$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$

Так как $D > 0$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Ответ: $-2.5; 3$.

9) $6x^2 + 7x - 5 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=6, b=7, c=-5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 13}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}; 0.5$.

10) $18x^2 - 9x - 5 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=18, b=-9, c=-5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-5) = 81 + 360 = 441$

Так как $D > 0$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{441}}{2 \cdot 18} = \frac{9 + 21}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{441}}{2 \cdot 18} = \frac{9 - 21}{36} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{5}{6}$.

11) $x^2 - 6x + 11 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-6, c=11$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

12) $-x^2 - 8x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 + 8x - 12 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=8, c=-12$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112$

Так как $D > 0$, найдем корни. $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

$x_1 = \frac{-8 + 4\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-4 + 2\sqrt{7})}{2} = -4 + 2\sqrt{7}$

$x_2 = \frac{-8 - 4\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-4 - 2\sqrt{7})}{2} = -4 - 2\sqrt{7}$

Ответ: $-4 - 2\sqrt{7}; -4 + 2\sqrt{7}$.