Номер 665, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 665, страница 169.

Условие.

665. Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомое натуральное число — это x.

Согласно условию задачи, квадрат этого числа ($x^2$) на 42 больше самого числа (x). Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 = x + 42$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x - 42 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью вычисления дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=-42$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

Так как дискриминант $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Мы получили два решения: 7 и -6. Однако в условии задачи требуется найти натуральное число. Натуральными числами являются целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Из двух найденных корней только 7 является натуральным числом. Число -6 является целым, но не натуральным.

Проверим найденное решение:

Квадрат числа 7 равен $7^2 = 49$.

Разница между квадратом числа и самим числом: $49 - 7 = 42$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 7