Номер 671, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 671, страница 169.

Условие.

671. Решите уравнение:

1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0;$

2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0;$

3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=3\sqrt{2}$, $c=4$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}; -2\sqrt{2}$.

2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-(\sqrt{3} + 2)$, $c=2\sqrt{3}$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-(\sqrt{3} + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2\sqrt{3}) = (\sqrt{3} + 2)^2 - 8\sqrt{3}$.
Раскроем скобки: $D = ((\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2) - 8\sqrt{3} = (3 + 4\sqrt{3} + 4) - 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}$.
Представим выражение $7 - 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.
Итак, $D = (2 - \sqrt{3})^2$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 + (2 - \sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 - (2 - \sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2 - 2 + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $2; \sqrt{3}$.

3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 12:
$12 \cdot \frac{2x^2 + x}{3} - 12 \cdot \frac{x + 3}{4} = 12 \cdot (x - 1)$.
$4(2x^2 + x) - 3(x + 3) = 12(x - 1)$.
Раскроем скобки:
$8x^2 + 4x - 3x - 9 = 12x - 12$.
Приведем подобные слагаемые:
$8x^2 + x - 9 = 12x - 12$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$8x^2 + x - 12x - 9 + 12 = 0$.
$8x^2 - 11x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=8$, $b=-11$, $c=3$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 121 - 96 = 25$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 8} = \frac{11 + 5}{16} = \frac{16}{16} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 8} = \frac{11 - 5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $1; \frac{3}{8}$.