Номер 668, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 668, страница 169.

Условие.

668. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первое натуральное число равно $n$, тогда следующее за ним последовательное натуральное число будет $n + 1$. По условию задачи, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Сумма этих двух чисел равна: $n + (n + 1) = 2n + 1$.

Произведение этих двух чисел равно: $n(n + 1) = n^2 + n$.

Согласно условию задачи, произведение на 89 больше суммы. Это можно записать в виде уравнения:
$n^2 + n = (2n + 1) + 89$

Упростим уравнение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$n^2 + n = 2n + 90$
$n^2 + n - 2n - 90 = 0$
$n^2 - n - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-90$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, а число $-9$ не является натуральным. Следовательно, единственным подходящим решением является $n = 10$.

Таким образом, первое число равно 10, а второе последовательное число равно $n + 1 = 10 + 1 = 11$.

Проведем проверку:
Сумма чисел: $10 + 11 = 21$.
Произведение чисел: $10 \cdot 11 = 110$.
Разница между произведением и суммой: $110 - 21 = 89$.
Условие задачи выполнено.

Ответ: 10 и 11.