Номер 675, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 675, страница 170.

Условие.

675. От прямоугольного листа бумаги, длина которого равна 18 см, отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь оставшейся части прямоугольника составляет 72 см². Какой была ширина листа бумаги?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим длину исходного прямоугольного листа бумаги как $L$, а его ширину — как $W$.

Согласно условию задачи, длина листа составляет $L = 18$ см. Ширина $W$ нам неизвестна. От листа отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа $W$. Это означает, что квадрат отрезали от длинной стороны прямоугольника.

Площадь исходного прямоугольника вычисляется по формуле $S_{исх} = L \cdot W$. Подставив известное значение длины, получаем: $S_{исх} = 18W$.

Площадь отрезанного квадрата со стороной $W$ составляет $S_{кв} = W \cdot W = W^2$.

После того как от прямоугольника отрезали квадрат, осталась часть, которая также является прямоугольником. Площадь этой оставшейся части, $S_{ост}$, равна разности между исходной площадью и площадью квадрата: $S_{ост} = S_{исх} - S_{кв}$.

По условию, площадь оставшейся части равна 72 см². Подставим все значения в наше уравнение:

$72 = 18W - W^2$

Для решения приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $aW^2 + bW + c = 0$:

$W^2 - 18W + 72 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-18$, $c=72$.

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$

Поскольку дискриминант $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $W_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$W_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$W_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два возможных значения для ширины листа: 12 см и 6 см. Необходимо проверить, удовлетворяют ли оба решения условиям задачи. Ширина листа должна быть меньше его длины ($W < 18$ см), чтобы от него можно было отрезать квадрат с такой стороной. Оба значения (12 см и 6 см) удовлетворяют этому условию.

Проверка 1: Пусть ширина $W = 12$ см. Исходный прямоугольник имеет размеры 18 см $\times$ 12 см. От него отрезают квадрат со стороной 12 см. Размеры оставшейся части будут $(18 - 12)$ см $\times$ 12 см, то есть 6 см $\times$ 12 см. Площадь оставшейся части: $6 \cdot 12 = 72$ см². Этот результат соответствует условию задачи.

Проверка 2: Пусть ширина $W = 6$ см. Исходный прямоугольник имеет размеры 18 см $\times$ 6 см. От него отрезают квадрат со стороной 6 см. Размеры оставшейся части будут $(18 - 6)$ см $\times$ 6 см, то есть 12 см $\times$ 6 см. Площадь оставшейся части: $12 \cdot 6 = 72$ см². Этот результат также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: ширина листа бумаги могла быть 12 см или 6 см.