Номер 680, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 680, страница 170.

Условие.

680. Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Рассмотрим общее квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ — старший коэффициент, $c$ — свободный член, и по определению $a \neq 0$.

Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

Согласно условию задачи, старший коэффициент $a$ и свободный член $c$ имеют разные знаки. Это означает, что если $a > 0$, то $c < 0$, и наоборот, если $a < 0$, то $c > 0$. В обоих случаях произведение этих коэффициентов будет отрицательным числом: $ac < 0$.

Теперь проанализируем знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ при данном условии.

Выражение для дискриминанта состоит из двух слагаемых: $b^2$ и $(-4ac)$.

1. Слагаемое $b^2$ представляет собой квадрат действительного числа $b$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$.

2. Слагаемое $(-4ac)$. Мы установили, что произведение $ac$ является отрицательным ($ac < 0$). Умножение этого отрицательного числа на другое отрицательное число ($-4$) даст в результате строго положительное число. Таким образом, $(-4ac) > 0$.

Дискриминант $D$ является суммой неотрицательного числа ($b^2$) и строго положительного числа ($-4ac$). Сумма неотрицательного и строго положительного чисел всегда строго положительна.

Следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$.

Поскольку дискриминант уравнения при выполнении заданного условия всегда положителен, уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Утверждение доказано.

Ответ: Если старший коэффициент $a$ и свободный член $c$ квадратного уравнения имеют разные знаки, то их произведение $ac < 0$. В этом случае дискриминант $D = b^2 - 4ac$ всегда положителен, так как он является суммой неотрицательного слагаемого $b^2$ и положительного слагаемого $(-4ac)$. Положительный дискриминант означает, что уравнение имеет два корня.