Номер 682, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 682, страница 170.

Условие.

682. В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть n — это количество команд, участвовавших в турнире.

По условию задачи, каждая команда сыграла с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что общее количество сыгранных матчей равно числу сочетаний из n команд по 2, поскольку в каждом матче участвуют две команды.

Количество матчей можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний из n по 2:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В условии сказано, что всего было сыграно 36 матчей. Мы можем составить уравнение, приравняв формулу к этому числу:

$\frac{n(n-1)}{2} = 36$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 36 \cdot 2$

$n(n-1) = 72$

Это уравнение можно решить двумя способами.

Способ 1: Логический подбор

Мы ищем два последовательных целых числа (n и n-1), произведение которых равно 72. Путем простого перебора можно найти, что такими числами являются 9 и 8:

$9 \cdot 8 = 72$

Отсюда следует, что $n = 9$.

Способ 2: Решение квадратного уравнения

Раскроем скобки в уравнении $n(n-1) = 72$ и приведем его к стандартному квадратному виду:

$n^2 - n = 72$

$n^2 - n - 72 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-72$.

$n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2}$

Поскольку $\sqrt{289} = 17$, получаем два корня:

$n_1 = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$n_2 = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -8$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, единственным подходящим решением является $n = 9$.

Ответ: 9 команд.