Номер 687, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 687, страница 171.

Условие.

687. Решите уравнение:

1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$;

2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно:
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$

Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует одинаковое слагаемое $-\frac{1}{x+1}$. Мы можем прибавить $\frac{1}{x+1}$ к обеим частям уравнения, чтобы оно сократилось:
$6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1}$
$6x^2 + 5x = 1$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$6x^2 + 5x - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = \frac{1}{6}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$

Упростим уравнение. В области допустимых значений ($x \ge 0$) справедливо тождество $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:
$5x^2 - 14x - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = -\frac{1}{5}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{1}{5} < 0$. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 0$.

Ответ: $3$