Номер 691, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 691, страница 171.

Условие.

691. Докажите, что при любом значении $m$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0;$

2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$

Чтобы доказать, что уравнение не имеет корней, нужно показать, что его дискриминант отрицателен при любом значении параметра $m$. Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, а его дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$.

Для данного уравнения коэффициенты (относительно переменной $x$) равны: $a = 1$, $b = m$, $c = m^2 + 1$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 1) = m^2 - 4m^2 - 4 = -3m^2 - 4$.

Теперь проанализируем знак полученного выражения $D = -3m^2 - 4$. При любом действительном значении $m$ его квадрат $m^2$ является неотрицательным числом, то есть $m^2 \ge 0$. При умножении на $-3$ получаем неположительное число: $-3m^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть положительное число 4, результат всегда будет строго отрицательным: $D = -3m^2 - 4 \le 0 - 4 = -4$.

Поскольку $D \le -4$, то $D < 0$ при любом значении $m$. Это доказывает, что исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Так как дискриминант $D = -3m^2 - 4$ всегда отрицателен, уравнение не имеет корней ни при каком значении $m$.

2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$

Аналогично первому пункту, найдем дискриминант этого уравнения и докажем, что он всегда отрицателен.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -2m$, $c = 2m^2 + 9$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m^2 + 9) = 4m^2 - 8m^2 - 36 = -4m^2 - 36$.

Проанализируем знак выражения $D = -4m^2 - 36$. Вынесем общий множитель $-4$ за скобки: $D = -4(m^2 + 9)$.

При любом действительном значении $m$, выражение $m^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $m^2 + 9$ всегда будет положительной, так как $m^2 + 9 \ge 0 + 9 = 9$. Произведение отрицательного числа ($-4$) и строго положительного числа ($m^2 + 9$) всегда является отрицательным числом.

Таким образом, $D < 0$ при любом значении $m$, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Так как дискриминант $D = -4(m^2 + 9)$ всегда отрицателен, уравнение не имеет корней ни при каком значении $m$.