Номер 696, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 696, страница 171.

Условие.

696. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:

1) $bx^2 + x + b = 0;$

2) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $bx^2+x+b=0;$

Уравнение с параметром может иметь единственный корень в двух основных случаях: когда оно становится линейным или когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при старшей степени ($x^2$) равен нулю. В данном уравнении это означает, что $b=0$.
Подставим $b=0$ в исходное уравнение: $0 \cdot x^2 + x + 0 = 0$
$x = 0$
Мы получили линейное уравнение с одним корнем. Следовательно, при $b=0$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Уравнение является квадратным с одним корнем.

Это условие выполняется, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($b \neq 0$), а дискриминант ($D$) равен нулю.
Вычислим дискриминант для уравнения $bx^2+x+b=0$ по формуле $D = k^2 - 4ac$ (где $a, k, c$ - коэффициенты уравнения):
$D = 1^2 - 4 \cdot b \cdot b = 1 - 4b^2$
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $b$, при которых корень будет единственным:
$1 - 4b^2 = 0$
$4b^2 = 1$
$b^2 = \frac{1}{4}$
$b = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
Получаем два значения: $b_1 = 0.5$ и $b_2 = -0.5$. Оба этих значения удовлетворяют условию $b \neq 0$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все значения параметра $b$.
Ответ: $b = -0.5; b = 0; b = 0.5$.

2) $(b+3)x^2+(b+1)x-2=0;$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю:
$b+3=0$
$b = -3$
Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить:
$(-3+3)x^2+(-3+1)x-2=0$
$0 \cdot x^2 - 2x - 2 = 0$
$-2x = 2$
$x=-1$
При $b=-3$ уравнение становится линейным и имеет один корень.

Случай 2: Уравнение является квадратным с одним корнем.

Это условие выполняется, когда $b+3 \neq 0$ (т.е. $b \neq -3$), а дискриминант $D=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (b+1)^2 - 4 \cdot (b+3) \cdot (-2)$
$D = (b^2 + 2b + 1) + 8(b+3)$
$D = b^2 + 2b + 1 + 8b + 24$
$D = b^2 + 10b + 25$
Полученное выражение является полным квадратом: $D = (b+5)^2$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$(b+5)^2 = 0$
$b+5 = 0$
$b = -5$
Это значение удовлетворяет условию $b \neq -3$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все искомые значения $b$.
Ответ: $b = -5; b = -3$.