Номер 696, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 696, страница 171.
№696 (с. 171)
Условие. №696 (с. 171)
скриншот условия

696. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $bx^2 + x + b = 0;$
2) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0?$
Решение 1. №696 (с. 171)


Решение 2. №696 (с. 171)

Решение 3. №696 (с. 171)

Решение 4. №696 (с. 171)

Решение 5. №696 (с. 171)

Решение 6. №696 (с. 171)

Решение 7. №696 (с. 171)

Решение 8. №696 (с. 171)
1) $bx^2+x+b=0;$
Уравнение с параметром может иметь единственный корень в двух основных случаях: когда оно становится линейным или когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом.
Случай 1: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при старшей степени ($x^2$) равен нулю. В данном уравнении это означает, что $b=0$.
Подставим $b=0$ в исходное уравнение: $0 \cdot x^2 + x + 0 = 0$
$x = 0$
Мы получили линейное уравнение с одним корнем. Следовательно, при $b=0$ исходное уравнение имеет единственный корень.
Случай 2: Уравнение является квадратным с одним корнем.
Это условие выполняется, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($b \neq 0$), а дискриминант ($D$) равен нулю.
Вычислим дискриминант для уравнения $bx^2+x+b=0$ по формуле $D = k^2 - 4ac$ (где $a, k, c$ - коэффициенты уравнения):
$D = 1^2 - 4 \cdot b \cdot b = 1 - 4b^2$
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $b$, при которых корень будет единственным:
$1 - 4b^2 = 0$
$4b^2 = 1$
$b^2 = \frac{1}{4}$
$b = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
Получаем два значения: $b_1 = 0.5$ и $b_2 = -0.5$. Оба этих значения удовлетворяют условию $b \neq 0$.
Объединив решения из обоих случаев, получаем все значения параметра $b$.
Ответ: $b = -0.5; b = 0; b = 0.5$.
2) $(b+3)x^2+(b+1)x-2=0;$
Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным.
Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю:
$b+3=0$
$b = -3$
Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить:
$(-3+3)x^2+(-3+1)x-2=0$
$0 \cdot x^2 - 2x - 2 = 0$
$-2x = 2$
$x=-1$
При $b=-3$ уравнение становится линейным и имеет один корень.
Случай 2: Уравнение является квадратным с одним корнем.
Это условие выполняется, когда $b+3 \neq 0$ (т.е. $b \neq -3$), а дискриминант $D=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (b+1)^2 - 4 \cdot (b+3) \cdot (-2)$
$D = (b^2 + 2b + 1) + 8(b+3)$
$D = b^2 + 2b + 1 + 8b + 24$
$D = b^2 + 10b + 25$
Полученное выражение является полным квадратом: $D = (b+5)^2$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$(b+5)^2 = 0$
$b+5 = 0$
$b = -5$
Это значение удовлетворяет условию $b \neq -3$.
Объединив решения из обоих случаев, получаем все искомые значения $b$.
Ответ: $b = -5; b = -3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 696 расположенного на странице 171 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №696 (с. 171), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.