Номер 693, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 693, страница 171.
№693 (с. 171)
Условие. №693 (с. 171)
скриншот условия

693. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0;$
2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0;$
3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0;$
4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0.$
Решение 1. №693 (с. 171)




Решение 2. №693 (с. 171)

Решение 3. №693 (с. 171)

Решение 4. №693 (с. 171)

Решение 5. №693 (с. 171)

Решение 6. №693 (с. 171)



Решение 7. №693 (с. 171)

Решение 8. №693 (с. 171)
1) Дано уравнение $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$. Для его решения найдем дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (3a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + a) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.
Поскольку дискриминант $D = (a+1)^2$ всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет решения.
Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(3a + 1) \pm \sqrt{(a + 1)^2}}{2} = \frac{-3a - 1 \pm (a + 1)}{2}$.
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = \frac{-3a - 1 + a + 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.
$x_2 = \frac{-3a - 1 - (a + 1)}{2} = \frac{-4a - 2}{2} = -2a - 1$.
При $a = -1$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1 = -(-1) = 1$ и $x_2 = -2(-1) - 1 = 1$.
Ответ: при любом значении $a$ решениями уравнения являются $x_1 = -a$ и $x_2 = -2a-1$.
2) Дано уравнение $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$.
$D = (-(2a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a = (2a + 4)^2 - 32a = 4a^2 + 16a + 16 - 32a = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2$.
Дискриминант $D = 4(a-2)^2 \ge 0$ при любых $a$, значит, уравнение всегда имеет действительные корни.
Корни уравнения находятся по формуле:
$x = \frac{(2a + 4) \pm \sqrt{4(a - 2)^2}}{2} = \frac{2(a + 2) \pm 2(a - 2)}{2} = (a + 2) \pm (a - 2)$.
Получаем два корня:
$x_1 = (a + 2) + (a - 2) = 2a$.
$x_2 = (a + 2) - (a - 2) = a + 2 - a + 2 = 4$.
При $a = 2$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1 = 2(2) = 4$ и $x_2 = 4$.
Ответ: при любом значении $a$ решениями уравнения являются $x_1 = 2a$ и $x_2 = 4$.
3) Дано уравнение $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$.
Это уравнение с параметром в старшем коэффициенте. Рассмотрим два случая.
Случай 1: коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a^2 = 0 \implies a = 0$.
При $a = 0$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 24 \cdot 0 \cdot x - 25 = 0$, что упрощается до $-25 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет решений.
Случай 2: коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
$a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Найдем дискриминант $D$.
$D = (-24a)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot (-25) = 576a^2 + 100a^2 = 676a^2 = (26a)^2$.
Так как $a \neq 0$, то $D > 0$, и уравнение всегда имеет два различных корня.
$x = \frac{-(-24a) \pm \sqrt{(26a)^2}}{2a^2} = \frac{24a \pm 26a}{2a^2}$.
Получаем два корня:
$x_1 = \frac{24a + 26a}{2a^2} = \frac{50a}{2a^2} = \frac{25}{a}$.
$x_2 = \frac{24a - 26a}{2a^2} = \frac{-2a}{2a^2} = -\frac{1}{a}$.
Ответ: если $a = 0$, то решений нет; если $a \neq 0$, то решениями являются $x_1 = \frac{25}{a}$ и $x_2 = -\frac{1}{a}$.
4) Дано уравнение $3(2a-1)x^2 - 2(a+1)x + 1 = 0$.
Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$3(2a - 1) = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.
При $a = \frac{1}{2}$ уравнение становится линейным: $-2(\frac{1}{2} + 1)x + 1 = 0 \implies -2(\frac{3}{2})x + 1 = 0 \implies -3x + 1 = 0$.
Отсюда находим единственный корень $x = \frac{1}{3}$.
Случай 2: коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
$a \neq \frac{1}{2}$. Уравнение является квадратным. Найдем дискриминант $D$.
$D = (-2(a+1))^2 - 4 \cdot 3(2a-1) \cdot 1 = 4(a^2 + 2a + 1) - 12(2a - 1) = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 12 = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a - 2)^2$.
Дискриминант $D = 4(a-2)^2 \ge 0$, поэтому действительные корни существуют.
$x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4(a-2)^2}}{2 \cdot 3(2a-1)} = \frac{2(a+1) \pm 2(a-2)}{6(2a-1)} = \frac{(a+1) \pm (a-2)}{3(2a-1)}$.
Получаем два корня:
$x_1 = \frac{(a+1) + (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{2a-1}{3(2a-1)} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{(a+1) - (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{3}{3(2a-1)} = \frac{1}{2a-1}$.
Если $a=2$, то $D=0$ и корни совпадают: $x_1 = x_2 = \frac{1}{3}$. Этот случай покрывается общей формулой для $x_2$, так как $\frac{1}{2(2)-1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: если $a = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{1}{3}$; если $a \neq \frac{1}{2}$, то решениями являются $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2a-1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 693 расположенного на странице 171 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №693 (с. 171), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.