Номер 693, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 693, страница 171.

Условие.

693. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0;$

2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0;$

3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0;$

4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для его решения найдем дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (3a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + a) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Поскольку дискриминант $D = (a+1)^2$ всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет решения.

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(3a + 1) \pm \sqrt{(a + 1)^2}}{2} = \frac{-3a - 1 \pm (a + 1)}{2}$.

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{-3a - 1 + a + 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

$x_2 = \frac{-3a - 1 - (a + 1)}{2} = \frac{-4a - 2}{2} = -2a - 1$.

При $a = -1$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1 = -(-1) = 1$ и $x_2 = -2(-1) - 1 = 1$.

Ответ: при любом значении $a$ решениями уравнения являются $x_1 = -a$ и $x_2 = -2a-1$.

2) Дано уравнение $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$.

$D = (-(2a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a = (2a + 4)^2 - 32a = 4a^2 + 16a + 16 - 32a = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2$.

Дискриминант $D = 4(a-2)^2 \ge 0$ при любых $a$, значит, уравнение всегда имеет действительные корни.

Корни уравнения находятся по формуле:

$x = \frac{(2a + 4) \pm \sqrt{4(a - 2)^2}}{2} = \frac{2(a + 2) \pm 2(a - 2)}{2} = (a + 2) \pm (a - 2)$.

Получаем два корня:

$x_1 = (a + 2) + (a - 2) = 2a$.

$x_2 = (a + 2) - (a - 2) = a + 2 - a + 2 = 4$.

При $a = 2$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1 = 2(2) = 4$ и $x_2 = 4$.

Ответ: при любом значении $a$ решениями уравнения являются $x_1 = 2a$ и $x_2 = 4$.

3) Дано уравнение $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$.

Это уравнение с параметром в старшем коэффициенте. Рассмотрим два случая.

Случай 1: коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a^2 = 0 \implies a = 0$.

При $a = 0$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 24 \cdot 0 \cdot x - 25 = 0$, что упрощается до $-25 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет решений.

Случай 2: коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Найдем дискриминант $D$.

$D = (-24a)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot (-25) = 576a^2 + 100a^2 = 676a^2 = (26a)^2$.

Так как $a \neq 0$, то $D > 0$, и уравнение всегда имеет два различных корня.

$x = \frac{-(-24a) \pm \sqrt{(26a)^2}}{2a^2} = \frac{24a \pm 26a}{2a^2}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{24a + 26a}{2a^2} = \frac{50a}{2a^2} = \frac{25}{a}$.

$x_2 = \frac{24a - 26a}{2a^2} = \frac{-2a}{2a^2} = -\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a = 0$, то решений нет; если $a \neq 0$, то решениями являются $x_1 = \frac{25}{a}$ и $x_2 = -\frac{1}{a}$.

4) Дано уравнение $3(2a-1)x^2 - 2(a+1)x + 1 = 0$.

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$3(2a - 1) = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.

При $a = \frac{1}{2}$ уравнение становится линейным: $-2(\frac{1}{2} + 1)x + 1 = 0 \implies -2(\frac{3}{2})x + 1 = 0 \implies -3x + 1 = 0$.

Отсюда находим единственный корень $x = \frac{1}{3}$.

Случай 2: коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$a \neq \frac{1}{2}$. Уравнение является квадратным. Найдем дискриминант $D$.

$D = (-2(a+1))^2 - 4 \cdot 3(2a-1) \cdot 1 = 4(a^2 + 2a + 1) - 12(2a - 1) = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 12 = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a - 2)^2$.

Дискриминант $D = 4(a-2)^2 \ge 0$, поэтому действительные корни существуют.

$x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4(a-2)^2}}{2 \cdot 3(2a-1)} = \frac{2(a+1) \pm 2(a-2)}{6(2a-1)} = \frac{(a+1) \pm (a-2)}{3(2a-1)}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{(a+1) + (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{2a-1}{3(2a-1)} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{(a+1) - (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{3}{3(2a-1)} = \frac{1}{2a-1}$.

Если $a=2$, то $D=0$ и корни совпадают: $x_1 = x_2 = \frac{1}{3}$. Этот случай покрывается общей формулой для $x_2$, так как $\frac{1}{2(2)-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: если $a = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{1}{3}$; если $a \neq \frac{1}{2}$, то решениями являются $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2a-1}$.