Номер 690, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 690, страница 171.

Условие.

690. Докажите, что при любом значении p имеет два корня уравнение:

1) $4x^2 - px - 3 = 0;$

2) $x^2 + px + p - 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, необходимо доказать, что его дискриминант ($D$) строго больше нуля ($D > 0$). Общая формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так: $D = b^2 - 4ac$.

1) Рассмотрим уравнение $4x^2 - px - 3 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -p$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = p^2 + 48$.

Проанализируем полученное выражение для дискриминанта. Выражение $p^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $p^2 \ge 0$ для любого значения $p$.

Следовательно, минимальное значение дискриминанта достигается при $p^2 = 0$: $D = p^2 + 48 \ge 0 + 48 = 48$.

Так как $D \ge 48$, то $D$ всегда будет строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $p$. Это доказывает, что данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим уравнение $x^2 + px + p - 2 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = p$, $c = p - 2$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 2) = p^2 - 4p + 8$.

Чтобы определить знак этого выражения, преобразуем его, выделив полный квадрат: $D = p^2 - 4p + 8 = (p^2 - 4p + 4) + 4 = (p - 2)^2 + 4$.

Выражение $(p-2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(p - 2)^2 \ge 0$ для любого значения $p$.

Следовательно, минимальное значение дискриминанта будет: $D = (p - 2)^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Так как $D \ge 4$, то $D$ всегда будет строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $p$. Это доказывает, что данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Что и требовалось доказать.