Номер 686, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 686, страница 171.

Условие.

686. Решите уравнение:

1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80;$

2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. В уравнении присутствует дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю.

$x - 8 \neq 0$

$x \neq 8$

Теперь приступим к решению уравнения. Заметим, что в обеих частях уравнения есть одинаковый член $\frac{3}{x-8}$. Вычтем его из обеих частей:

$x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} - \frac{3}{x-8} = 80$

Уравнение упрощается до:

$x^2 + 2x = 80$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x - 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Воспользуемся дискриминантом: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=2$, $c=-80$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 8$).

Корень $x_1 = -10$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-10 \neq 8$.

Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=8$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, $x=8$ является посторонним корнем и не является решением уравнения.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=-10$.

Ответ: -10

2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). В уравнении присутствует квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Упростим уравнение. По определению, для всех $x$ из ОДЗ, $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 + 8x - 33 = 0$

Получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$, $c=-33$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 14}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = -11$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-11 < 0$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3