Номер 683, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 683, страница 170.

Условие.

683. Сколько сторон у многоугольника, если в нём можно провести 90 диагоналей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения количества сторон многоугольника воспользуемся формулой, связывающей число сторон $n$ и количество диагоналей $D$, которое можно в нем провести.

Формула для нахождения числа диагоналей в $n$-угольнике выглядит так:

$D = \frac{n(n - 3)}{2}$

Здесь $n$ — это количество сторон (и вершин) многоугольника. Из каждой вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух соседних с ней вершин. Поэтому из одной вершины выходит $(n-3)$ диагонали. Поскольку вершин всего $n$, общее число диагоналей, казалось бы, равно $n(n-3)$. Но так как каждая диагональ соединяет две вершины, в этом произведении каждая диагональ учтена дважды. Поэтому результат необходимо разделить на 2.

Согласно условию задачи, в многоугольнике можно провести 90 диагоналей, то есть $D = 90$. Подставим это значение в формулу:

$90 = \frac{n(n - 3)}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала умножим обе части на 2:

$180 = n(n - 3)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$180 = n^2 - 3n$

$n^2 - 3n - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D_{уравнения}$:

$D_{уравнения} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D_{уравнения}}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D_{уравнения}}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом, причем $n \ge 3$. Корень $n_2 = -12$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственным решением, имеющим геометрический смысл, является $n = 15$.

Ответ: у многоугольника 15 сторон.