Номер 681, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 681, страница 170.

Условие.

681. (Старинная индийская задача.)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате $ (\frac{x}{8})^2 $

В роще весело резвилась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество обезьян в стае.

Согласно условию, обезьяны разделились на две группы.

• Число обезьян в первой группе составляет «часть восьмая их в квадрате», что можно записать в виде формулы: $(\frac{x}{8})^2$.
• Во второй группе было 12 обезьян.

Общее количество обезьян равно сумме числа обезьян в этих двух группах. На основе этого составим уравнение:

$x = (\frac{x}{8})^2 + 12$

Теперь необходимо решить это уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:
$x = \frac{x^2}{64} + 12$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 64:
$64 \cdot x = 64 \cdot \frac{x^2}{64} + 64 \cdot 12$
$64x = x^2 + 768$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 64x + 768 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-64$, $c=768$.
$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$

Корень из дискриминанта равен:
$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два положительных целых корня, что означает, что задача может иметь два решения. Выполним проверку для каждого из них.

Проверка для $x = 48$:
Первая группа: $(\frac{48}{8})^2 = 6^2 = 36$ обезьян.
Вторая группа: 12 обезьян.
Общее количество: $36 + 12 = 48$. Решение верное.

Проверка для $x = 16$:
Первая группа: $(\frac{16}{8})^2 = 2^2 = 4$ обезьяны.
Вторая группа: 12 обезьян.
Общее количество: $4 + 12 = 16$. Это решение также верное.

Ответ: В стае могло быть 16 или 48 обезьян.