Номер 678, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 678, страница 170.

Условие.

678. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первое из трёх последовательных нечётных натуральных чисел равно $x$. Поскольку числа являются последовательными нечётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Тогда второе число равно $x + 2$, а третье число — $x + 4$.

Согласно условию задачи, квадрат первого числа ($x^2$) на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего чисел ($2 \cdot ((x + 2) + (x + 4))$). Составим на основе этого условия математическое уравнение:

$x^2 = 2 \cdot ((x + 2) + (x + 4)) + 33$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим выражение в скобках:

$x^2 = 2 \cdot (2x + 6) + 33$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 = 4x + 12 + 33$

$x^2 = 4x + 45$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x - 45 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$

Теперь найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{196}}{2} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{196}}{2} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

В условии задачи сказано, что числа должны быть натуральными, то есть целыми и положительными. Корень $x_2 = -5$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи. Корень $x_1 = 9$ является нечётным натуральным числом и удовлетворяет условию.

Итак, первое число равно 9. Найдём остальные два числа:

• Второе число: $x + 2 = 9 + 2 = 11$
• Третье число: $x + 4 = 9 + 4 = 13$

Искомые числа: 9, 11, 13.

Выполним проверку:

Квадрат первого числа: $9^2 = 81$.

Удвоенная сумма второго и третьего: $2 \cdot (11 + 13) = 2 \cdot 24 = 48$.

Разница между ними: $81 - 48 = 33$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 9, 11, 13.