Номер 674, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 674, страница 170.

Условие.

674. От квадратного листа картона отрезали полоску в форме прямоугольника шириной 3 см и длиной, равной стороне квадрата. Площадь оставшейся части листа составляет $40 \text{ см}^2$. Какой была длина стороны квадратного листа картона?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть сторона квадратного листа картона равна $x$ см. Тогда его первоначальная площадь составляет $S_{квадрата} = x \cdot x = x^2$ см².

От этого листа отрезали полоску в форме прямоугольника. Длина этой полоски равна стороне квадрата, то есть $x$ см, а ширина по условию равна 3 см. Площадь отрезанной полоски составляет $S_{полоски} = 3 \cdot x$ см².

Площадь оставшейся части листа — это разность между первоначальной площадью квадрата и площадью отрезанной полоски. По условию, эта площадь равна 40 см². Можем составить уравнение:

$S_{квадрата} - S_{полоски} = 40$

$x^2 - 3x = 40$

Для решения перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 40 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-40$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку $x$ — это длина стороны квадрата, она не может быть отрицательной величиной. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не является решением задачи.

Единственное подходящее значение — это $x_1 = 8$. Таким образом, длина стороны квадратного листа картона была 8 см.

Проверка: площадь квадрата $8 \times 8 = 64$ см². Площадь отрезанной полоски $8 \times 3 = 24$ см². Площадь оставшейся части $64 - 24 = 40$ см². Условие задачи выполняется.

Ответ: 8 см.