Номер 669, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 669, страница 169.

Условие.

669. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365.

Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первое искомое натуральное число равно $n$. Так как числа последовательные, то второе число будет равно $n+1$.

По условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 365. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n + 1)^2 = 365$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 365$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$2n^2 + 2n + 1 - 365 = 0$

$2n^2 + 2n - 364 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для его упрощения:

$n^2 + n - 182 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-182$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 27}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 27}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

В условии сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа. Корень $n_2 = -14$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Следовательно, первое число равно $n = 13$.

Второе последовательное число равно $n + 1 = 13 + 1 = 14$.

Выполним проверку: найдем сумму квадратов чисел 13 и 14.

$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$

Сумма квадратов равна 365, что соответствует условию задачи.

Ответ: 13 и 14.