Номер 676, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 676, страница 170.

Условие.

676. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть длина одного катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. По условию, другой катет на 14 см меньше, значит, его длина составляет $(x - 14)$ см. Длина гипотенузы известна и равна 34 см.

Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов длин катетов ($a$ и $b$) равна квадрату длины гипотенузы ($c$): $a^2 + b^2 = c^2$.

Составим уравнение, подставив в него наши значения:
$x^2 + (x - 14)^2 = 34^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot 14 + 14^2 = 1156$
$2x^2 - 28x + 196 = 1156$
$2x^2 - 28x + 196 - 1156 = 0$
$2x^2 - 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 - 14x - 480 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.

Теперь найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{14 + 46}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{14 - 46}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Длина катета не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, длина одного катета равна 30 см.

Найдем длину второго катета:
$x - 14 = 30 - 14 = 16$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 30 см и 16 см.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 30 см.