Номер 677, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 677, страница 170.

Условие.

677. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ > $b$. По условию, их разность равна 31 см, а диагональ $d$ равна 41 см.

Мы можем составить систему уравнений на основе этих данных. Первое уравнение — из условия о разности сторон:
$a - b = 31$

Второе уравнение следует из теоремы Пифагора. Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника, где стороны $a$ и $b$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой. Следовательно:
$a^2 + b^2 = d^2$
Подставив значение диагонали, получаем:
$a^2 + b^2 = 41^2$

Итак, мы имеем систему из двух уравнений:
1) $a - b = 31$
2) $a^2 + b^2 = 1681$

Выразим $a$ из первого уравнения:
$a = 31 + b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$(31 + b)^2 + b^2 = 1681$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы решить полученное квадратное уравнение:
$31^2 + 2 \cdot 31 \cdot b + b^2 + b^2 = 1681$
$961 + 62b + 2b^2 = 1681$
$2b^2 + 62b + 961 - 1681 = 0$
$2b^2 + 62b - 720 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$b^2 + 31b - 360 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь найдем возможные значения для стороны $b$:
$b_1 = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$b_2 = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку длина стороны прямоугольника не может быть отрицательным числом, мы выбираем положительный корень: $b = 9$ см.

Зная $b$, найдем сторону $a$:
$a = 31 + b = 31 + 9 = 40$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 40 см.