Номер 684, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 684, страница 170.

Условие.

684. Решите уравнение:

1) $ |x^2 + 7x - 4| = 4; $

2) $ 5x^2 - 8|x| + 3 = 0; $

3) $ x|x| + 6x - 5 = 0; $

4) $ x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0; $

5) $ x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0; $

6) $ x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данное уравнение $|x^2 + 7x - 4| = 4$ равносильно совокупности двух уравнений:
а) $x^2 + 7x - 4 = 4$
б) $x^2 + 7x - 4 = -4$

Решим первое уравнение:
$x^2 + 7x - 8 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $-8$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.

Решим второе уравнение:
$x^2 + 7x = 0$
$x(x + 7) = 0$
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = -7$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: $-8; -7; 0; 1$.

2) В уравнении $5x^2 - 8|x| + 3 = 0$ воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$.
Уравнение примет вид: $5|x|^2 - 8|x| + 3 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$5t^2 - 8t + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.
$t_1 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:
а) $|x| = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.
б) $|x| = \frac{3}{5} \Rightarrow x_3 = \frac{3}{5}, x_4 = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $\pm 1; \pm \frac{3}{5}$.

3) Для решения уравнения $x|x| + 6x - 5 = 0$ рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 6x - 5 = 0$
$x^2 + 6x - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{14}}{2} = -3 + \sqrt{14}$.
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{14}}{2} = -3 - \sqrt{14}$.
Проверим условие $x \ge 0$.
Так как $\sqrt{9} < \sqrt{14} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{14} < 4$.
$x_1 = -3 + \sqrt{14} > 0$ — корень подходит.
$x_2 = -3 - \sqrt{14} < 0$ — корень не подходит.

Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 6x - 5 = 0$
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 5$.
Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$, поэтому они не являются решениями.

Единственным решением является корень из первого случая.
Ответ: $-3 + \sqrt{14}$.

4) В уравнении $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0$ область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.
Упростим дробь, используя свойство $x^2 = |x|^2$:
$\frac{4x^2}{|x|} = \frac{4|x|^2}{|x|} = 4|x|$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$. Так как $x \ne 0$, то $t > 0$.
$t^2 + 4t - 12 = 0$
По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = -6$.
Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t = 2$.

Вернемся к замене: $|x| = 2$.
Отсюда $x = 2$ или $x = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\pm 2$.

5) В уравнении $x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0$ воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение примет вид: $x^2 - 8|x| + 15 = 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 - 8|x| + 15 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 8t + 15 = 0$
По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к замене:
а) $|x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3$.
б) $|x| = 5 \Rightarrow x = \pm 5$.
Ответ: $\pm 3; \pm 5$.

6) В уравнении $x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0$ воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение примет вид: $x^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Это уравнение полностью совпадает с преобразованным уравнением из пункта 4.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 + 4t - 12 = 0$
По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = -6$.
Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t = 2$.

Вернемся к замене: $|x| = 2$.
Отсюда $x = 2$ или $x = -2$.
Ответ: $\pm 2$.