Страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

673. При каком значении $a$ число 2 является корнем уравнения

$x^2 - 0,5ax - 3a^2 = 0?$

По условию задачи, число 2 является корнем уравнения $x^2 - 0,5ax - 3a^2 = 0$. Это означает, что если мы подставим значение $x = 2$ в уравнение, то получим верное числовое равенство.

Выполним подстановку $x = 2$ в данное уравнение:
$2^2 - 0,5a \cdot 2 - 3a^2 = 0$

Теперь упростим полученное выражение:
$4 - a - 3a^2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $a$. Для удобства решения запишем его в стандартном виде $ka^2 + ma + n = 0$, умножив все члены уравнения на -1:
$3a^2 + a - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = m^2 - 4kn$.
В нашем случае коэффициенты: $k=3$, $m=1$, $n=-4$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:
$a = \frac{-m \pm \sqrt{D}}{2k}$
$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Следовательно, при значениях $a=1$ и $a=-\frac{4}{3}$ число 2 будет являться корнем исходного уравнения.

Ответ: $1; -\frac{4}{3}$.

674. От квадратного листа картона отрезали полоску в форме прямоугольника шириной 3 см и длиной, равной стороне квадрата. Площадь оставшейся части листа составляет $40 \text{ см}^2$. Какой была длина стороны квадратного листа картона?

Пусть сторона квадратного листа картона равна $x$ см. Тогда его первоначальная площадь составляет $S_{квадрата} = x \cdot x = x^2$ см².

От этого листа отрезали полоску в форме прямоугольника. Длина этой полоски равна стороне квадрата, то есть $x$ см, а ширина по условию равна 3 см. Площадь отрезанной полоски составляет $S_{полоски} = 3 \cdot x$ см².

Площадь оставшейся части листа — это разность между первоначальной площадью квадрата и площадью отрезанной полоски. По условию, эта площадь равна 40 см². Можем составить уравнение:

$S_{квадрата} - S_{полоски} = 40$

$x^2 - 3x = 40$

Для решения перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 40 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-40$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку $x$ — это длина стороны квадрата, она не может быть отрицательной величиной. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не является решением задачи.

Единственное подходящее значение — это $x_1 = 8$. Таким образом, длина стороны квадратного листа картона была 8 см.

Проверка: площадь квадрата $8 \times 8 = 64$ см². Площадь отрезанной полоски $8 \times 3 = 24$ см². Площадь оставшейся части $64 - 24 = 40$ см². Условие задачи выполняется.

Ответ: 8 см.

675. От прямоугольного листа бумаги, длина которого равна 18 см, отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь оставшейся части прямоугольника составляет 72 см². Какой была ширина листа бумаги?

Обозначим длину исходного прямоугольного листа бумаги как $L$, а его ширину — как $W$.

Согласно условию задачи, длина листа составляет $L = 18$ см. Ширина $W$ нам неизвестна. От листа отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа $W$. Это означает, что квадрат отрезали от длинной стороны прямоугольника.

Площадь исходного прямоугольника вычисляется по формуле $S_{исх} = L \cdot W$. Подставив известное значение длины, получаем: $S_{исх} = 18W$.

Площадь отрезанного квадрата со стороной $W$ составляет $S_{кв} = W \cdot W = W^2$.

После того как от прямоугольника отрезали квадрат, осталась часть, которая также является прямоугольником. Площадь этой оставшейся части, $S_{ост}$, равна разности между исходной площадью и площадью квадрата: $S_{ост} = S_{исх} - S_{кв}$.

По условию, площадь оставшейся части равна 72 см². Подставим все значения в наше уравнение:

$72 = 18W - W^2$

Для решения приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $aW^2 + bW + c = 0$:

$W^2 - 18W + 72 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-18$, $c=72$.

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$

Поскольку дискриминант $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $W_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$W_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$W_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два возможных значения для ширины листа: 12 см и 6 см. Необходимо проверить, удовлетворяют ли оба решения условиям задачи. Ширина листа должна быть меньше его длины ($W < 18$ см), чтобы от него можно было отрезать квадрат с такой стороной. Оба значения (12 см и 6 см) удовлетворяют этому условию.

Проверка 1: Пусть ширина $W = 12$ см. Исходный прямоугольник имеет размеры 18 см $\times$ 12 см. От него отрезают квадрат со стороной 12 см. Размеры оставшейся части будут $(18 - 12)$ см $\times$ 12 см, то есть 6 см $\times$ 12 см. Площадь оставшейся части: $6 \cdot 12 = 72$ см². Этот результат соответствует условию задачи.

Проверка 2: Пусть ширина $W = 6$ см. Исходный прямоугольник имеет размеры 18 см $\times$ 6 см. От него отрезают квадрат со стороной 6 см. Размеры оставшейся части будут $(18 - 6)$ см $\times$ 6 см, то есть 12 см $\times$ 6 см. Площадь оставшейся части: $12 \cdot 6 = 72$ см². Этот результат также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: ширина листа бумаги могла быть 12 см или 6 см.

676. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть длина одного катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. По условию, другой катет на 14 см меньше, значит, его длина составляет $(x - 14)$ см. Длина гипотенузы известна и равна 34 см.

Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов длин катетов ($a$ и $b$) равна квадрату длины гипотенузы ($c$): $a^2 + b^2 = c^2$.

Составим уравнение, подставив в него наши значения:
$x^2 + (x - 14)^2 = 34^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot 14 + 14^2 = 1156$
$2x^2 - 28x + 196 = 1156$
$2x^2 - 28x + 196 - 1156 = 0$
$2x^2 - 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 - 14x - 480 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.

Теперь найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{14 + 46}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{14 - 46}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Длина катета не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, длина одного катета равна 30 см.

Найдем длину второго катета:
$x - 14 = 30 - 14 = 16$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 30 см и 16 см.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 30 см.

677. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ > $b$. По условию, их разность равна 31 см, а диагональ $d$ равна 41 см.

Мы можем составить систему уравнений на основе этих данных. Первое уравнение — из условия о разности сторон:
$a - b = 31$

Второе уравнение следует из теоремы Пифагора. Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника, где стороны $a$ и $b$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой. Следовательно:
$a^2 + b^2 = d^2$
Подставив значение диагонали, получаем:
$a^2 + b^2 = 41^2$

Итак, мы имеем систему из двух уравнений:
1) $a - b = 31$
2) $a^2 + b^2 = 1681$

Выразим $a$ из первого уравнения:
$a = 31 + b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$(31 + b)^2 + b^2 = 1681$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы решить полученное квадратное уравнение:
$31^2 + 2 \cdot 31 \cdot b + b^2 + b^2 = 1681$
$961 + 62b + 2b^2 = 1681$
$2b^2 + 62b + 961 - 1681 = 0$
$2b^2 + 62b - 720 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$b^2 + 31b - 360 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь найдем возможные значения для стороны $b$:
$b_1 = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$b_2 = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку длина стороны прямоугольника не может быть отрицательным числом, мы выбираем положительный корень: $b = 9$ см.

Зная $b$, найдем сторону $a$:
$a = 31 + b = 31 + 9 = 40$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 40 см.

678. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего.

Пусть первое из трёх последовательных нечётных натуральных чисел равно $x$. Поскольку числа являются последовательными нечётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Тогда второе число равно $x + 2$, а третье число — $x + 4$.

Согласно условию задачи, квадрат первого числа ($x^2$) на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего чисел ($2 \cdot ((x + 2) + (x + 4))$). Составим на основе этого условия математическое уравнение:

$x^2 = 2 \cdot ((x + 2) + (x + 4)) + 33$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим выражение в скобках:

$x^2 = 2 \cdot (2x + 6) + 33$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 = 4x + 12 + 33$

$x^2 = 4x + 45$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x - 45 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$

Теперь найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{196}}{2} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{196}}{2} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

В условии задачи сказано, что числа должны быть натуральными, то есть целыми и положительными. Корень $x_2 = -5$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи. Корень $x_1 = 9$ является нечётным натуральным числом и удовлетворяет условию.

Итак, первое число равно 9. Найдём остальные два числа:

• Второе число: $x + 2 = 9 + 2 = 11$
• Третье число: $x + 4 = 9 + 4 = 13$

Искомые числа: 9, 11, 13.

Выполним проверку:

Квадрат первого числа: $9^2 = 81$.

Удвоенная сумма второго и третьего: $2 \cdot (11 + 13) = 2 \cdot 24 = 48$.

Разница между ними: $81 - 48 = 33$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 9, 11, 13.

679. Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение второго и четвёртого чисел.

Пусть первое из четырёх последовательных чётных натуральных чисел равно $2n$, где $n$ — натуральное число. Поскольку числа натуральные, $2n \ge 2$, следовательно $n \ge 1$. Тогда следующие три числа будут $2n + 2$, $2n + 4$ и $2n + 6$.

Согласно условию задачи, сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение второго и четвёртого. Составим уравнение на основе этого условия.

Сумма первого и третьего чисел: $S = 2n + (2n + 4) = 4n + 4$.

Произведение второго и четвёртого чисел: $P = (2n + 2)(2n + 6)$.

Условие «сумма в 5 раз меньше произведения» означает, что произведение равно сумме, умноженной на 5: $P = 5 \cdot S$.

Подставим выражения для $P$ и $S$ в это равенство:
$(2n + 2)(2n + 6) = 5(4n + 4)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4n^2 + 12n + 4n + 12 = 20n + 20$
$4n^2 + 16n + 12 = 20n + 20$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$4n^2 + 16n + 12 - 20n - 20 = 0$
$4n^2 - 4n - 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:
$n^2 - n - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя формулу для корней квадратного уравнения $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$a = 1, b = -1, c = -2$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

По условию, мы ищем натуральные чётные числа. Первое число равно $2n$. Так как $n$ должно быть натуральным числом ($n \ge 1$), корень $n_2 = -1$ не подходит. Корень $n_1 = 2$ подходит.

Теперь найдём все четыре числа, подставив $n=2$:
Первое число: $2n = 2 \cdot 2 = 4$
Второе число: $2n + 2 = 4 + 2 = 6$
Третье число: $2n + 4 = 4 + 4 = 8$
Четвёртое число: $2n + 6 = 4 + 6 = 10$
Искомые числа: 4, 6, 8, 10.

Проверим, выполняется ли условие задачи:
Сумма первого и третьего чисел: $4 + 8 = 12$.
Произведение второго и четвёртого чисел: $6 \cdot 10 = 60$.
Проверим, что сумма в 5 раз меньше произведения: $60 / 12 = 5$. Условие выполняется.

Ответ: 4, 6, 8, 10.

680. Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.

Рассмотрим общее квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ — старший коэффициент, $c$ — свободный член, и по определению $a \neq 0$.

Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

Согласно условию задачи, старший коэффициент $a$ и свободный член $c$ имеют разные знаки. Это означает, что если $a > 0$, то $c < 0$, и наоборот, если $a < 0$, то $c > 0$. В обоих случаях произведение этих коэффициентов будет отрицательным числом: $ac < 0$.

Теперь проанализируем знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ при данном условии.

Выражение для дискриминанта состоит из двух слагаемых: $b^2$ и $(-4ac)$.

1. Слагаемое $b^2$ представляет собой квадрат действительного числа $b$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$.

2. Слагаемое $(-4ac)$. Мы установили, что произведение $ac$ является отрицательным ($ac < 0$). Умножение этого отрицательного числа на другое отрицательное число ($-4$) даст в результате строго положительное число. Таким образом, $(-4ac) > 0$.

Дискриминант $D$ является суммой неотрицательного числа ($b^2$) и строго положительного числа ($-4ac$). Сумма неотрицательного и строго положительного чисел всегда строго положительна.

Следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$.

Поскольку дискриминант уравнения при выполнении заданного условия всегда положителен, уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Утверждение доказано.

Ответ: Если старший коэффициент $a$ и свободный член $c$ квадратного уравнения имеют разные знаки, то их произведение $ac < 0$. В этом случае дискриминант $D = b^2 - 4ac$ всегда положителен, так как он является суммой неотрицательного слагаемого $b^2$ и положительного слагаемого $(-4ac)$. Положительный дискриминант означает, что уравнение имеет два корня.

681. (Старинная индийская задача.)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате $ (\frac{x}{8})^2 $

В роще весело резвилась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество обезьян в стае.

Согласно условию, обезьяны разделились на две группы.

• Число обезьян в первой группе составляет «часть восьмая их в квадрате», что можно записать в виде формулы: $(\frac{x}{8})^2$.
• Во второй группе было 12 обезьян.

Общее количество обезьян равно сумме числа обезьян в этих двух группах. На основе этого составим уравнение:

$x = (\frac{x}{8})^2 + 12$

Теперь необходимо решить это уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:
$x = \frac{x^2}{64} + 12$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 64:
$64 \cdot x = 64 \cdot \frac{x^2}{64} + 64 \cdot 12$
$64x = x^2 + 768$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 64x + 768 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-64$, $c=768$.
$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$

Корень из дискриминанта равен:
$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два положительных целых корня, что означает, что задача может иметь два решения. Выполним проверку для каждого из них.

Проверка для $x = 48$:
Первая группа: $(\frac{48}{8})^2 = 6^2 = 36$ обезьян.
Вторая группа: 12 обезьян.
Общее количество: $36 + 12 = 48$. Решение верное.

Проверка для $x = 16$:
Первая группа: $(\frac{16}{8})^2 = 2^2 = 4$ обезьяны.
Вторая группа: 12 обезьян.
Общее количество: $4 + 12 = 16$. Это решение также верное.

Ответ: В стае могло быть 16 или 48 обезьян.

682. В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд?

Пусть n — это количество команд, участвовавших в турнире.

По условию задачи, каждая команда сыграла с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что общее количество сыгранных матчей равно числу сочетаний из n команд по 2, поскольку в каждом матче участвуют две команды.

Количество матчей можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний из n по 2:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В условии сказано, что всего было сыграно 36 матчей. Мы можем составить уравнение, приравняв формулу к этому числу:

$\frac{n(n-1)}{2} = 36$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 36 \cdot 2$

$n(n-1) = 72$

Это уравнение можно решить двумя способами.

Способ 1: Логический подбор

Мы ищем два последовательных целых числа (n и n-1), произведение которых равно 72. Путем простого перебора можно найти, что такими числами являются 9 и 8:

$9 \cdot 8 = 72$

Отсюда следует, что $n = 9$.

Способ 2: Решение квадратного уравнения

Раскроем скобки в уравнении $n(n-1) = 72$ и приведем его к стандартному квадратному виду:

$n^2 - n = 72$

$n^2 - n - 72 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-72$.

$n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2}$

Поскольку $\sqrt{289} = 17$, получаем два корня:

$n_1 = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$n_2 = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -8$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, единственным подходящим решением является $n = 9$.

Ответ: 9 команд.

683. Сколько сторон у многоугольника, если в нём можно провести 90 диагоналей?

Для определения количества сторон многоугольника воспользуемся формулой, связывающей число сторон $n$ и количество диагоналей $D$, которое можно в нем провести.

Формула для нахождения числа диагоналей в $n$-угольнике выглядит так:

$D = \frac{n(n - 3)}{2}$

Здесь $n$ — это количество сторон (и вершин) многоугольника. Из каждой вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух соседних с ней вершин. Поэтому из одной вершины выходит $(n-3)$ диагонали. Поскольку вершин всего $n$, общее число диагоналей, казалось бы, равно $n(n-3)$. Но так как каждая диагональ соединяет две вершины, в этом произведении каждая диагональ учтена дважды. Поэтому результат необходимо разделить на 2.

Согласно условию задачи, в многоугольнике можно провести 90 диагоналей, то есть $D = 90$. Подставим это значение в формулу:

$90 = \frac{n(n - 3)}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала умножим обе части на 2:

$180 = n(n - 3)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$180 = n^2 - 3n$

$n^2 - 3n - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D_{уравнения}$:

$D_{уравнения} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D_{уравнения}}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D_{уравнения}}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом, причем $n \ge 3$. Корень $n_2 = -12$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственным решением, имеющим геометрический смысл, является $n = 15$.

Ответ: у многоугольника 15 сторон.

684. Решите уравнение:

1) $ |x^2 + 7x - 4| = 4; $

2) $ 5x^2 - 8|x| + 3 = 0; $

3) $ x|x| + 6x - 5 = 0; $

4) $ x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0; $

5) $ x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0; $

6) $ x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0. $

1) Данное уравнение $|x^2 + 7x - 4| = 4$ равносильно совокупности двух уравнений:
а) $x^2 + 7x - 4 = 4$
б) $x^2 + 7x - 4 = -4$

Решим первое уравнение:
$x^2 + 7x - 8 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $-8$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.

Решим второе уравнение:
$x^2 + 7x = 0$
$x(x + 7) = 0$
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = -7$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: $-8; -7; 0; 1$.

2) В уравнении $5x^2 - 8|x| + 3 = 0$ воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$.
Уравнение примет вид: $5|x|^2 - 8|x| + 3 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$5t^2 - 8t + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.
$t_1 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной:
а) $|x| = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.
б) $|x| = \frac{3}{5} \Rightarrow x_3 = \frac{3}{5}, x_4 = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $\pm 1; \pm \frac{3}{5}$.

3) Для решения уравнения $x|x| + 6x - 5 = 0$ рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 6x - 5 = 0$
$x^2 + 6x - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{14}}{2} = -3 + \sqrt{14}$.
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{14}}{2} = -3 - \sqrt{14}$.
Проверим условие $x \ge 0$.
Так как $\sqrt{9} < \sqrt{14} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{14} < 4$.
$x_1 = -3 + \sqrt{14} > 0$ — корень подходит.
$x_2 = -3 - \sqrt{14} < 0$ — корень не подходит.

Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 6x - 5 = 0$
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 5$.
Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$, поэтому они не являются решениями.

Единственным решением является корень из первого случая.
Ответ: $-3 + \sqrt{14}$.

4) В уравнении $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0$ область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.
Упростим дробь, используя свойство $x^2 = |x|^2$:
$\frac{4x^2}{|x|} = \frac{4|x|^2}{|x|} = 4|x|$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$. Так как $x \ne 0$, то $t > 0$.
$t^2 + 4t - 12 = 0$
По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = -6$.
Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t = 2$.

Вернемся к замене: $|x| = 2$.
Отсюда $x = 2$ или $x = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\pm 2$.

5) В уравнении $x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0$ воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение примет вид: $x^2 - 8|x| + 15 = 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 - 8|x| + 15 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 8t + 15 = 0$
По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к замене:
а) $|x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3$.
б) $|x| = 5 \Rightarrow x = \pm 5$.
Ответ: $\pm 3; \pm 5$.

6) В уравнении $x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0$ воспользуемся тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение примет вид: $x^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Это уравнение полностью совпадает с преобразованным уравнением из пункта 4.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 + 4|x| - 12 = 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 + 4t - 12 = 0$
По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = -6$.
Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t = 2$.

Вернемся к замене: $|x| = 2$.
Отсюда $x = 2$ или $x = -2$.
Ответ: $\pm 2$.