Страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

699. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{17}$, $3\sqrt{2}$ и 4.

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Удобнее всего это сделать, представив каждое число в виде квадратного корня или сравнив их квадраты. Так как все числа положительные, то соотношение между ними будет таким же, как и соотношение между их квадратами.

1. Найдем квадрат числа $\sqrt{17}$:

$(\sqrt{17})^2 = 17$

2. Найдем квадрат числа $3\sqrt{2}$:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

3. Найдем квадрат числа $4$:

$4^2 = 16$

Теперь у нас есть три числа: $17$, $18$ и $16$. Расположим их в порядке возрастания:

$16 < 17 < 18$

Поскольку $16 < 17 < 18$, то и для исходных чисел выполняется такое же неравенство:

$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{18}$

Заменим $\sqrt{16}$ на $4$ и $\sqrt{18}$ на $3\sqrt{2}$, чтобы вернуться к исходным числам. Получаем следующий порядок:

$4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2}$

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $4$, $\sqrt{17}$, $3\sqrt{2}$.

Ответ: $4; \sqrt{17}; 3\sqrt{2}$.

700. Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат 5 % и 45 % никеля соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить 120 т сплава с 30-процентным содержанием никеля?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это масса (в тоннах) лома первого сорта, который содержит 5% никеля, а $y$ — это масса (в тоннах) лома второго сорта, содержащего 45% никеля.

По условию, общая масса нового сплава должна составлять 120 тонн. Следовательно, сумма масс двух сортов лома должна быть равна 120. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 120$

Далее, рассчитаем массу чистого никеля в каждом компоненте и в итоговом сплаве.

• Масса никеля в первом сорте лома: $0.05 \cdot x$ т.
• Масса никеля во втором сорте лома: $0.45 \cdot y$ т.
• Масса никеля в итоговом 120-тонном сплаве с 30-процентным содержанием никеля: $120 \cdot 0.30 = 36$ т.

Масса никеля в итоговом сплаве равна сумме масс никеля из двух исходных сортов. Это дает нам второе уравнение:

$0.05x + 0.45y = 36$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 120 \\ 0.05x + 0.45y = 36 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 120 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.05(120 - y) + 0.45y = 36$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$0.05 \cdot 120 - 0.05y + 0.45y = 36$

$6 + 0.40y = 36$

$0.4y = 36 - 6$

$0.4y = 30$

$y = \frac{30}{0.4} = \frac{300}{4} = 75$

Итак, масса лома второго сорта (с 45% никеля) равна 75 т.

Теперь найдем массу лома первого сорта, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 120 - 75 = 45$

Следовательно, масса лома первого сорта (с 5% никеля) равна 45 т.

Ответ: чтобы получить 120 т сплава с 30-процентным содержанием никеля, нужно взять 45 т лома первого сорта и 75 т лома второго сорта.

701. В книге недостаёт нескольких листов. На левой странице разворота стоит номер страницы 24, а на правой — номер 53. Сколько листов не- достаёт между этими страницами?

В книге каждый лист состоит из двух страниц. Принято, что на развороте левая страница имеет четный номер, а правая — следующий за ним нечетный.

В условии сказано, что на левой странице разворота стоит номер 24. Если бы книга была целой, то на правой странице этого же разворота стоял бы номер 25.

На правой странице видимого разворота стоит номер 53. Значит, на левой странице этого же разворота, если бы он был целым, стоял бы номер 52.

Таким образом, между страницей 24 и страницей 53 отсутствуют все страницы, начиная с номера 25 и заканчивая номером 52. Чтобы посчитать их количество, нужно из последнего номера вычесть первый и прибавить 1:
$52 - 25 + 1 = 28$ страниц.

Поскольку каждый лист содержит 2 страницы, для определения количества недостающих листов необходимо разделить количество недостающих страниц на 2:
$28 \div 2 = 14$ листов.

Ответ: 14.

702. Решите уравнение, найдите сумму и произведение его корней и сравните их со вторым коэффициентом и свободным членом уравнения:

1) $x^2 - 4x - 12 = 0;$

2) $x^2 + 9x + 14 = 0.$

1) $x^2 - 4x - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где второй коэффициент $p = -4$ и свободный член $q = -12$.

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=-4$, $c=-12$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корни уравнения: 6 и -2.

Теперь найдем их сумму и произведение:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6 + (-2) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot (-2) = -12$.

Сравним полученные значения с коэффициентами уравнения:

Второй коэффициент уравнения равен -4. Сумма корней (4) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($-p = -(-4) = 4$).

Свободный член уравнения равен -12. Произведение корней (-12) равно свободному члену ($q = -12$).

Ответ: корни уравнения: $6$ и $-2$; сумма корней: $4$; произведение корней: $-12$. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

2) $x^2 + 9x + 14 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где второй коэффициент $p = 9$ и свободный член $q = 14$.

Решим уравнение с помощью дискриминанта. В этом уравнении $a=1$, $b=9$, $c=14$.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Корни уравнения: -2 и -7.

Найдем их сумму и произведение:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = (-2) + (-7) = -9$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-7) = 14$.

Сравним полученные значения с коэффициентами уравнения:

Второй коэффициент уравнения равен 9. Сумма корней (-9) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($-p = -9$).

Свободный член уравнения равен 14. Произведение корней (14) равно свободному члену ($q = 14$).

Ответ: корни уравнения: $-2$ и $-7$; сумма корней: $-9$; произведение корней: $14$. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

703. Заполните таблицу, где $a$, $b$ и $c$ – коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, а $x_1$ и $x_2$ – его корни.

Для заполнения таблицы воспользуемся теоремой Виета и формулой для нахождения корней квадратного уравнения.

Согласно теореме Виета для уравнения $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Это означает, что значения в столбцах $-\frac{b}{a}$ и $x_1+x_2$ должны совпадать, так же как и значения в столбцах $\frac{c}{a}$ и $x_1x_2$.

Корни уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Для уравнения $7x^2 - 8x + 1 = 0$

1. Определяем коэффициенты: $a = 7$, $b = -8$, $c = 1$.

2. Находим значения для столбцов $-\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$:

$-\frac{b}{a} = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7}$

$\frac{c}{a} = \frac{1}{7}$

3. По теореме Виета, значения в столбцах $x_1+x_2$ и $x_1x_2$ будут такими же:

$x_1+x_2 = \frac{8}{7}$

$x_1x_2 = \frac{1}{7}$

4. Находим корни уравнения $x_1$ и $x_2$. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Ответ: $-\frac{b}{a} = \frac{8}{7}$, $\frac{c}{a} = \frac{1}{7}$, $x_1 = \frac{1}{7}$, $x_2 = 1$, $x_1 + x_2 = \frac{8}{7}$, $x_1 x_2 = \frac{1}{7}$.

Для уравнения $6x^2 + 13x - 15 = 0$

1. Определяем коэффициенты: $a = 6$, $b = 13$, $c = -15$.

2. Находим значения для столбцов $-\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$:

$-\frac{b}{a} = -\frac{13}{6}$

$\frac{c}{a} = \frac{-15}{6} = -\frac{5}{2}$

3. По теореме Виета, значения в столбцах $x_1+x_2$ и $x_1x_2$ будут такими же:

$x_1+x_2 = -\frac{13}{6}$

$x_1x_2 = -\frac{5}{2}$

4. Находим корни уравнения $x_1$ и $x_2$. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-15) = 169 + 360 = 529$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня ($\sqrt{529}=23$):

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 23}{2 \cdot 6} = \frac{-36}{12} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 23}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $-\frac{b}{a} = -\frac{13}{6}$, $\frac{c}{a} = -\frac{5}{2}$, $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{5}{6}$, $x_1 + x_2 = -\frac{13}{6}$, $x_1 x_2 = -\frac{5}{2}$.

Итоговая заполненная таблица:

704. Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разных цветов.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно.

Это означает, что одновременно выполняются два противоположных условия:

1. Невозможно выбрать 11 кубиков одного цвета. Следовательно, кубиков каждого отдельно взятого цвета может быть не более 10.
2. Невозможно выбрать 11 кубиков разных цветов. Следовательно, общее количество различных цветов, в которые окрашены кубики, не превышает 10.

Теперь давайте оценим, какое максимальное количество кубиков могло бы у нас быть, если бы наше предположение было верным.

Пусть $k$ — это количество различных цветов. Согласно нашему второму предположению, $k \le 10$.

Пусть $n_i$ — это количество кубиков $i$-го цвета (где $i$ — номер цвета от 1 до $k$). Согласно нашему первому предположению, для любого цвета $i$ выполняется неравенство $n_i \le 10$.

Общее число кубиков $N$ равно сумме кубиков всех имеющихся цветов:

$N = n_1 + n_2 + ... + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i$

Чтобы найти максимально возможное общее число кубиков $N_{max}$ при данных ограничениях, нам нужно взять максимально возможное количество цветов ($k=10$) и максимально возможное количество кубиков каждого из этих цветов ($n_i=10$).

Тогда максимальное число кубиков будет:

$N_{max} = \underbrace{10 + 10 + \dots + 10}_{10 \text{ слагаемых}} = 10 \times 10 = 100$

Таким образом, если бы наше предположение было верным, общее количество кубиков не могло бы превышать 100.

Однако по условию задачи у нас имеется 101 кубик. Мы пришли к противоречию, так как $101 > 100$.

Это противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным, а значит, исходное утверждение задачи истинно.

Ответ: Что и требовалось доказать: из 101 кубика всегда можно выбрать либо 11 кубиков одного цвета, либо 11 кубиков разных цветов.