Номер 704, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 704, страница 172.

Условие.

704. Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разных цветов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно.

Это означает, что одновременно выполняются два противоположных условия:

1. Невозможно выбрать 11 кубиков одного цвета. Следовательно, кубиков каждого отдельно взятого цвета может быть не более 10.
2. Невозможно выбрать 11 кубиков разных цветов. Следовательно, общее количество различных цветов, в которые окрашены кубики, не превышает 10.

Теперь давайте оценим, какое максимальное количество кубиков могло бы у нас быть, если бы наше предположение было верным.

Пусть $k$ — это количество различных цветов. Согласно нашему второму предположению, $k \le 10$.

Пусть $n_i$ — это количество кубиков $i$-го цвета (где $i$ — номер цвета от 1 до $k$). Согласно нашему первому предположению, для любого цвета $i$ выполняется неравенство $n_i \le 10$.

Общее число кубиков $N$ равно сумме кубиков всех имеющихся цветов:

$N = n_1 + n_2 + ... + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i$

Чтобы найти максимально возможное общее число кубиков $N_{max}$ при данных ограничениях, нам нужно взять максимально возможное количество цветов ($k=10$) и максимально возможное количество кубиков каждого из этих цветов ($n_i=10$).

Тогда максимальное число кубиков будет:

$N_{max} = \underbrace{10 + 10 + \dots + 10}_{10 \text{ слагаемых}} = 10 \times 10 = 100$

Таким образом, если бы наше предположение было верным, общее количество кубиков не могло бы превышать 100.

Однако по условию задачи у нас имеется 101 кубик. Мы пришли к противоречию, так как $101 > 100$.

Это противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным, а значит, исходное утверждение задачи истинно.

Ответ: Что и требовалось доказать: из 101 кубика всегда можно выбрать либо 11 кубиков одного цвета, либо 11 кубиков разных цветов.