Номер 707, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 707, страница 176.

Условие.

707. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 6x - 32 = 0;$

2) $x^2 - 10x + 4 = 0;$

3) $2x^2 - 6x + 3 = 0;$

4) $10x^2 + 42x + 25 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, не решая его, используется теорема Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие формулы: сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Прежде чем применять формулы, полезно убедиться, что уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

1) Дано уравнение $x^2 + 6x - 32 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-32$.
Проверим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 36 + 128 = 164$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{1} = -6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-32}{1} = -32$.
Ответ: сумма корней равна -6, произведение корней равно -32.

2) Дано уравнение $x^2 - 10x + 4 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=4$.
Проверим дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 100 - 16 = 84$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: сумма корней равна 10, произведение корней равно 4.

3) Дано уравнение $2x^2 - 6x + 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-6$, $c=3$.
Проверим дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2} = 3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: сумма корней равна 3, произведение корней равно 1,5.

4) Дано уравнение $10x^2 + 42x + 25 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=10$, $b=42$, $c=25$.
Проверим дискриминант: $D = 42^2 - 4 \cdot 10 \cdot 25 = 1764 - 1000 = 764$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{42}{10} = -4,2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{25}{10} = 2,5$.
Ответ: сумма корней равна -4,2, произведение корней равно 2,5.