Номер 708, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 708, страница 176.

Условие.

708. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 - 12x - 18 = 0;$

2) $x^2 + 2x - 9 = 0;$

3) $3x^2 + 7x + 2 = 0;$

4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, не решая его, используется теорема Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие формулы:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Прежде чем применять теорему Виета, необходимо убедиться, что уравнение имеет действительные корни. Это условие выполняется, если дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен ($D \ge 0$).

1) $x^2 - 12x - 18 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = -18$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 144 + 72 = 216$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{1} = 12$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{1} = -18$.
Ответ: сумма корней равна 12, произведение корней равно -18.

2) $x^2 + 2x - 9 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -9$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1} = -9$.
Ответ: сумма корней равна -2, произведение корней равно -9.

3) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 7$, $c = 2$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.
Ответ: сумма корней равна $-\frac{7}{3}$, произведение корней равно $\frac{2}{3}$.

4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = -4$, $b = -8$, $c = 27$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 27 = 64 + 432 = 496$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{-4} = \frac{8}{-4} = -2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{27}{-4} = -\frac{27}{4}$.
Ответ: сумма корней равна -2, произведение корней равно $-\frac{27}{4}$.