Номер 710, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 710, страница 177.

Условие.

710. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:

1) $x^2 + 2x - 3 = 0$ числа 1 и -2;

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$ числа -2 и -3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Теорема, обратная теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то они являются корнями этого уравнения.

1) Проверим, являются ли числа $1$ и $-2$ корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты: $p = 2$, $q = -3$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, должны выполняться два равенства:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$. Проверяем: $1 + (-2) = -1$. Требуемое значение: $-p = -2$. Так как $-1 \neq -2$, условие не выполняется.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$. Проверяем: $1 \cdot (-2) = -2$. Требуемое значение: $q = -3$. Так как $-2 \neq -3$, это условие также не выполняется.

Поскольку условия теоремы не выполняются, данные числа не являются корнями уравнения.

Ответ: не являются.

2) Проверим, являются ли числа $-2$ и $-3$ корнями уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты: $p = 5$, $q = 6$.

Проверим выполнение равенств:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$. Проверяем: $(-2) + (-3) = -5$. Требуемое значение: $-p = -5$. Равенство $-5 = -5$ выполняется.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$. Проверяем: $(-2) \cdot (-3) = 6$. Требуемое значение: $q = 6$. Равенство $6 = 6$ выполняется.

Так как оба условия выполняются, данные числа являются корнями уравнения.

Ответ: являются.