Номер 713, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 713, страница 177.

Условие.

713. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) 2 и 5;

2) $-\frac{1}{3}$ и 2;

3) -0,2 и -10;

4) $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$;

5) 0 и 6;

6) $-\sqrt{7}$ и $\sqrt{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для составления квадратного уравнения с целыми коэффициентами по его корням $x_1$ и $x_2$ удобно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно ей, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведённого квадратного уравнения вида $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$. Если в результате вычислений коэффициенты получаются дробными, то всё уравнение следует домножить на их общий знаменатель, чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами.

1) Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 5 = 10$.

Составим уравнение по формуле $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - 7x + 10 = 0$.

Коэффициенты 1, -7, 10 являются целыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

2) Корни уравнения: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = 2$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3}$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$.

Составим приведённое квадратное уравнение: $x^2 - (\frac{5}{3})x + (-\frac{2}{3}) = 0$, то есть $x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0$.

Чтобы коэффициенты стали целыми, умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на 3:

$3 \cdot (x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}) = 3 \cdot 0$

$3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Коэффициенты 3, -5, -2 являются целыми.

Ответ: $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

3) Корни уравнения: $x_1 = -0,2$ и $x_2 = -10$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -0,2 + (-10) = -10,2 = -\frac{102}{10} = -\frac{51}{5}$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-0,2) \cdot (-10) = 2$.

Составим уравнение: $x^2 - (-\frac{51}{5})x + 2 = 0$, то есть $x^2 + \frac{51}{5}x + 2 = 0$.

Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 5:

$5 \cdot (x^2 + \frac{51}{5}x + 2) = 5 \cdot 0$

$5x^2 + 51x + 10 = 0$.

Коэффициенты 5, 51, 10 являются целыми.

Ответ: $5x^2 + 51x + 10 = 0$.

4) Корни уравнения: $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.

Произведение корней (используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$): $P = x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Составим уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Коэффициенты 1, -4, 1 являются целыми.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

5) Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = 0 + 6 = 6$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 6 = 0$.

Составим уравнение: $x^2 - 6x + 0 = 0$, то есть $x^2 - 6x = 0$.

Коэффициенты 1, -6, 0 являются целыми.

Ответ: $x^2 - 6x = 0$.

6) Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{7})(\sqrt{7}) = -(\sqrt{7})^2 = -7$.

Составим уравнение: $x^2 - 0 \cdot x + (-7) = 0$, то есть $x^2 - 7 = 0$.

Коэффициенты 1, 0, -7 являются целыми.

Ответ: $x^2 - 7 = 0$.