Номер 712, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 712, страница 177.

Условие.

712. Найдите коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа:

1) -2 и 0,5;

2) -10 и -20.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$, зная его корни, удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) теорема Виета гласит:

• Сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна второму коэффициенту ($b$) с противоположным знаком.
• Произведение корней уравнения ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену ($c$).

Математически это записывается так:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Используем эти формулы для решения задачи.

1)

Даны корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 0,5$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -2 + 0,5 = -1,5$

Согласно теореме Виета, $x_1 + x_2 = -b$. Следовательно:

$-1,5 = -b$

$b = 1,5$

Теперь найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 0,5 = -1$

Согласно теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c$. Следовательно:

$c = -1$

Ответ: $b = 1,5$, $c = -1$.

2)

Даны корни уравнения: $x_1 = -10$ и $x_2 = -20$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -10 + (-20) = -30$

Подставим это значение в формулу $x_1 + x_2 = -b$:

$-30 = -b$

$b = 30$

Теперь найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-10) \cdot (-20) = 200$

Подставим это значение в формулу $x_1 \cdot x_2 = c$:

$c = 200$

Ответ: $b = 30$, $c = 200$.