Номер 715, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 715, страница 177.

Условие.

715. Число $-2$ является корнем уравнения $x^2 - 8x + q = 0$. Найдите значение $q$ и второй корень уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, число $-2$ является корнем квадратного уравнения $x^2 - 8x + q = 0$. Это означает, что если подставить $x = -2$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство. Это позволяет нам найти неизвестный коэффициент $q$.

1. Нахождение значения q

Подставим значение корня $x = -2$ в исходное уравнение:

$(-2)^2 - 8 \cdot (-2) + q = 0$

Выполним арифметические действия:

$4 - (-16) + q = 0$

$4 + 16 + q = 0$

$20 + q = 0$

Выразим $q$ из полученного уравнения:

$q = -20$

Ответ: значение $q$ равно $-20$.

2. Нахождение второго корня уравнения

Теперь, когда мы нашли $q$, наше уравнение имеет вид:

$x^2 - 8x - 20 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) можно использовать теорему Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $p = -8$ и $q = -20$. Один из корней, $x_1$, нам известен и равен $-2$. Воспользуемся формулой для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -(-8)$

$-2 + x_2 = 8$

Найдем $x_2$:

$x_2 = 8 + 2$

$x_2 = 10$

Для проверки можно использовать формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 10 = -20$, что соответствует значению $q$, которое мы нашли ранее.

Ответ: второй корень уравнения равен 10.