Номер 709, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 709, страница 176.

Условие.

709. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:

1) $x^2 - 8x + 12 = 0$ числа 2 и 6;

2) $x^2 + x - 56 = 0$ числа -7 и 8;

3) $x^2 - 13x + 42 = 0$ числа 5 и 8;

4) $x^2 - 20x - 99 = 0$ числа 9 и 11.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если существуют числа $x_1$ и $x_2$, для которых одновременно выполняются два равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями данного уравнения. Проверим выполнение этих условий для каждого случая.

1) $x^2 - 8x + 12 = 0$ числа 2 и 6;

Для данного уравнения коэффициенты $p = -8$ и $q = 12$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=2$ и $x_2=6$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = 2 + 6 = 8$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(-8) = 8$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется, так как $8=8$.

2. Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 6 = 12$.
По теореме, произведение должно быть равно $q = 12$.
Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ выполняется, так как $12=12$.

Оба условия выполнены, следовательно, числа 2 и 6 являются корнями уравнения.
Ответ: являются.

2) $x^2 + x - 56 = 0$ числа -7 и 8;

Для данного уравнения коэффициенты $p = 1$ и $q = -56$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=-7$ и $x_2=8$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = -7 + 8 = 1$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(1) = -1$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ не выполняется, так как $1 \neq -1$.

Так как одно из условий не выполнено, дальнейшая проверка не требуется. Числа -7 и 8 не являются корнями уравнения.
Ответ: не являются.

3) $x^2 - 13x + 42 = 0$ числа 5 и 8;

Для данного уравнения коэффициенты $p = -13$ и $q = 42$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=5$ и $x_2=8$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = 5 + 8 = 13$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(-13) = 13$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется, так как $13=13$.

2. Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 8 = 40$.
По теореме, произведение должно быть равно $q = 42$.
Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ не выполняется, так как $40 \neq 42$.

Так как второе условие не выполнено, числа 5 и 8 не являются корнями уравнения.
Ответ: не являются.

4) $x^2 - 20x - 99 = 0$ числа 9 и 11.

Для данного уравнения коэффициенты $p = -20$ и $q = -99$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=9$ и $x_2=11$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = 9 + 11 = 20$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(-20) = 20$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется, так как $20=20$.

2. Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 9 \cdot 11 = 99$.
По теореме, произведение должно быть равно $q = -99$.
Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ не выполняется, так как $99 \neq -99$.

Так как второе условие не выполнено, числа 9 и 11 не являются корнями уравнения.
Ответ: не являются.