Номер 3, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 176.

Условие.

3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Решение 2.

Решение 8.

Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если два числа удовлетворяют определенным соотношениям, связанным с коэффициентами квадратного уравнения, то эти числа являются корнями данного уравнения. Эта теорема очень удобна для подбора целочисленных корней приведенных квадратных уравнений и для составления квадратного уравнения по известным корням.

Формулировка теоремы, обратной теореме Виета

Формулировка для приведенного квадратного уравнения (уравнения вида $x^2+px+q=0$):

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$ (то есть, $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$), то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство:

Пусть дано уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию теоремы, существуют числа $x_1$ и $x_2$, для которых верны равенства: $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$.

Подставим эти выражения для коэффициентов $p$ и $q$ в исходное уравнение:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Чтобы доказать, что $x_1$ является корнем этого уравнения, подставим $x=x_1$ в его левую часть и выполним преобразования:

$x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 + x_1x_2 = x_1^2 - x_1^2 - x_2x_1 + x_1x_2 = 0$

Полученное верное равенство $0 = 0$ доказывает, что $x_1$ — корень уравнения.

Аналогично докажем, что $x_2$ также является корнем, подставив $x=x_2$ в левую часть:

$x_2^2 - (x_1 + x_2)x_2 + x_1x_2 = x_2^2 - x_1x_2 - x_2^2 + x_1x_2 = 0$

Это также верное равенство, следовательно, $x_2$ — тоже корень уравнения. Теорема доказана.

Пример применения:

Не решая уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$, найдем его корни подбором, используя теорему, обратную теореме Виета.

В этом уравнении коэффициенты $p = -7$ и $q = 10$.

Нам нужно найти два числа, $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -p = -(-7) = 7$

$x_1 \cdot x_2 = q = 10$

Начнем подбор с произведения. Число 10 можно представить как произведение целых чисел следующими способами: $1 \cdot 10$, $2 \cdot 5$, $(-1) \cdot (-10)$, $(-2) \cdot (-5)$.

Теперь проверим сумму для каждой пары:

$1 + 10 = 11$ (не подходит)

$2 + 5 = 7$ (подходит)

Таким образом, мы нашли числа $2$ и $5$, которые удовлетворяют обоим условиям. Согласно теореме, обратной теореме Виета, эти числа и являются корнями данного уравнения.

Ответ: Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2$ равна $-p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно $q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.