Номер 702, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 702, страница 172.

Условие.

702. Решите уравнение, найдите сумму и произведение его корней и сравните их со вторым коэффициентом и свободным членом уравнения:

1) $x^2 - 4x - 12 = 0;$

2) $x^2 + 9x + 14 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 4x - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где второй коэффициент $p = -4$ и свободный член $q = -12$.

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=-4$, $c=-12$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корни уравнения: 6 и -2.

Теперь найдем их сумму и произведение:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6 + (-2) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot (-2) = -12$.

Сравним полученные значения с коэффициентами уравнения:

Второй коэффициент уравнения равен -4. Сумма корней (4) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($-p = -(-4) = 4$).

Свободный член уравнения равен -12. Произведение корней (-12) равно свободному члену ($q = -12$).

Ответ: корни уравнения: $6$ и $-2$; сумма корней: $4$; произведение корней: $-12$. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

2) $x^2 + 9x + 14 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где второй коэффициент $p = 9$ и свободный член $q = 14$.

Решим уравнение с помощью дискриминанта. В этом уравнении $a=1$, $b=9$, $c=14$.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Корни уравнения: -2 и -7.

Найдем их сумму и произведение:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = (-2) + (-7) = -9$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-7) = 14$.

Сравним полученные значения с коэффициентами уравнения:

Второй коэффициент уравнения равен 9. Сумма корней (-9) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($-p = -9$).

Свободный член уравнения равен 14. Произведение корней (14) равно свободному члену ($q = 14$).

Ответ: корни уравнения: $-2$ и $-7$; сумма корней: $-9$; произведение корней: $14$. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.