Номер 695, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 695, страница 171.

Условие.

695. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:

1) $bx^2 - 6x - 7 = 0;$

2) $(b+5)x^2 - (b+6)x + 3 = 0;$

3) $(b-4)x^2 + (2b-8)x + 15 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо рассмотреть два случая:

1. Уравнение является линейным (коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю).
2. Уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю) и его дискриминант равен нулю.

1) $bx^2 - 6x - 7 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b=0$. При $b=0$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 6x - 7 = 0$ $-6x - 7 = 0$ $-6x = 7$ $x = -\frac{7}{6}$ Уравнение имеет один корень. Следовательно, $b=0$ является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит, когда $b \neq 0$ и дискриминант $D=0$. Коэффициенты уравнения: $a=b$, $b_{coeff}=-6$, $c=-7$. Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot b \cdot (-7) = 36 + 28b$. Приравняем дискриминант к нулю: $36 + 28b = 0$ $28b = -36$ $b = -\frac{36}{28} = -\frac{9}{7}$ При этом значении $b \neq 0$, значит, это второе решение.

Ответ: $0; -\frac{9}{7}$.

2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю: $b+5 = 0$, откуда $b=-5$. При $b=-5$ коэффициент при $x$ равен $-(b+6) = -(-5+6) = -1 \neq 0$. Уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - (-5+6)x + 3 = 0$ $-x + 3 = 0$ $x = 3$ Уравнение имеет один корень, значит $b=-5$ является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит при $b+5 \neq 0$ (т.е. $b \neq -5$) и $D=0$. Коэффициенты: $a = b+5$, $b_{coeff} = -(b+6)$, $c=3$. Вычислим дискриминант: $D = (-(b+6))^2 - 4 \cdot (b+5) \cdot 3 = (b+6)^2 - 12(b+5)$ $D = (b^2 + 12b + 36) - (12b + 60) = b^2 + 12b + 36 - 12b - 60 = b^2 - 24$ Приравняем дискриминант к нулю: $b^2 - 24 = 0$ $b^2 = 24$ $b = \pm \sqrt{24} = \pm \sqrt{4 \cdot 6} = \pm 2\sqrt{6}$ Оба значения не равны $-5$, поэтому они являются решениями.

Ответ: $-5; -2\sqrt{6}; 2\sqrt{6}$.

3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю: $b-4 = 0$, откуда $b=4$. Подставим $b=4$ в уравнение: $(4-4)x^2 + (2 \cdot 4 - 8)x + 15 = 0$ $0 \cdot x^2 + (8-8)x + 15 = 0$ $0 \cdot x + 15 = 0$ $15 = 0$ Получено неверное равенство, это означает, что при $b=4$ уравнение не имеет корней. Этот случай не дает решения.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит при $b-4 \neq 0$ (т.е. $b \neq 4$) и $D=0$. Коэффициенты: $a = b-4$, $b_{coeff} = 2b-8$, $c=15$. Вычислим дискриминант: $D = (2b-8)^2 - 4 \cdot (b-4) \cdot 15$ Заметим, что $2b-8 = 2(b-4)$, поэтому: $D = (2(b-4))^2 - 60(b-4) = 4(b-4)^2 - 60(b-4)$ Приравняем дискриминант к нулю и вынесем общий множитель $4(b-4)$ за скобки: $4(b-4)((b-4) - 15) = 0$ $4(b-4)(b-19) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $b-4=0$ или $b-19=0$. Отсюда $b=4$ или $b=19$. По условию этого случая, $b \neq 4$. Следовательно, подходит только $b=19$.

Ответ: $19$.