Номер 694, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 694, страница 171.

Условие.

694. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0;$

2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0;$

3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$ при любом значении параметра $a$. Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения.

Коэффициенты уравнения: $A = 1$, $B = -(2a - 5)$, $C = -3a^2 + 5a$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-(2a - 5))^2 - 4(1)(-3a^2 + 5a)$

$D = (4a^2 - 20a + 25) + 12a^2 - 20a = 16a^2 - 40a + 25$

Заметим, что выражение для дискриминанта является полным квадратом: $D = (4a - 5)^2$.

Поскольку $D = (4a - 5)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{2a - 5 \pm \sqrt{(4a - 5)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a - 5 \pm (4a - 5)}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{2a - 5 + (4a - 5)}{2} = \frac{6a - 10}{2} = 3a - 5$

$x_2 = \frac{2a - 5 - (4a - 5)}{2} = \frac{2a - 5 - 4a + 5}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$

Ответ: при любом $a$ корни уравнения: $x_1 = 3a - 5$, $x_2 = -a$.

2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0$

Это уравнение также является квадратным относительно $x$ при любом значении $a$.

Коэффициенты уравнения: $A = 1$, $B = 3a - 4$, $C = -12a$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (3a - 4)^2 - 4(1)(-12a)$

$D = (9a^2 - 24a + 16) + 48a = 9a^2 + 24a + 16$

Дискриминант является полным квадратом: $D = (3a + 4)^2$.

Так как $D = (3a + 4)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{-(3a - 4) \pm \sqrt{(3a + 4)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 3a \pm (3a + 4)}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{4 - 3a + (3a + 4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{4 - 3a - (3a + 4)}{2} = \frac{4 - 3a - 3a - 4}{2} = \frac{-6a}{2} = -3a$

Ответ: при любом $a$ корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -3a$.

3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $a = 0$

Если $a = 0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 - (0 + 1)x + 1 = 0$

$-x + 1 = 0$

$x = 1$

Случай 2: $a \neq 0$

В этом случае уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.

Коэффициенты: $A = a$, $B = -(a + 1)$, $C = 1$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a + 1))^2 - 4(a)(1) = (a + 1)^2 - 4a$

$D = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$

Дискриминант $D = (a - 1)^2 \ge 0$ при любых $a$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{a + 1 \pm \sqrt{(a - 1)^2}}{2a} = \frac{a + 1 \pm (a - 1)}{2a}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{a + 1 + (a - 1)}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1$

$x_2 = \frac{a + 1 - (a - 1)}{2a} = \frac{a + 1 - a + 1}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$

При $a \neq 0$ корни уравнения: $1$ и $\frac{1}{a}$. Если $a = 1$, то $D=0$, и корни совпадают: $x=1$.

Ответ: если $a=0$ или $a=1$, то $x=1$; если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то $x_1=1, x_2=\frac{1}{a}$.