Номер 1, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 176.

Условие.

1. Сформулируйте теорему Виета.

Решение 2.

Решение 8.

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Различают формулировки для приведенного и полного квадратного уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если оно имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), если оно имеет корни $x_1$ и $x_2$, формулы Виета выглядят так:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Эти формулы позволяют, не находя корней уравнения, вычислить их сумму и произведение.

Теорема, обратная теореме Виета

Справедливо и обратное утверждение: если для некоторых чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Эта теорема часто используется для проверки найденных корней или для устного подбора целочисленных корней приведенного квадратного уравнения.

Обобщение теоремы Виета для многочлена n-й степени

Теорема Виета имеет обобщение для многочлена произвольной степени $n$. Пусть дан многочлен $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ с коэффициентами $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ (где $a_n \neq 0$) и корнями $x_1, x_2, \dots, x_n$. Тогда справедливы следующие соотношения, известные как формулы Виета:

Сумма всех корней: $\sum_{1 \le i \le n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$.

Сумма всех попарных произведений корней: $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = \frac{a_{n-2}}{a_n}$.

Сумма всех произведений корней по три: $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$.

И так далее, знаки при дробях чередуются. Общая формула для суммы произведений корней по $k$ штук имеет вид:

$\sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$.

Произведение всех корней равно:

$x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$.

Ответ: Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ утверждает, что сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1 + x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$). Для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.