Страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте теорему Виета.

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Различают формулировки для приведенного и полного квадратного уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если оно имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), если оно имеет корни $x_1$ и $x_2$, формулы Виета выглядят так:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Эти формулы позволяют, не находя корней уравнения, вычислить их сумму и произведение.

Теорема, обратная теореме Виета

Справедливо и обратное утверждение: если для некоторых чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Эта теорема часто используется для проверки найденных корней или для устного подбора целочисленных корней приведенного квадратного уравнения.

Обобщение теоремы Виета для многочлена n-й степени

Теорема Виета имеет обобщение для многочлена произвольной степени $n$. Пусть дан многочлен $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ с коэффициентами $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ (где $a_n \neq 0$) и корнями $x_1, x_2, \dots, x_n$. Тогда справедливы следующие соотношения, известные как формулы Виета:

Сумма всех корней: $\sum_{1 \le i \le n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$.

Сумма всех попарных произведений корней: $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = \frac{a_{n-2}}{a_n}$.

Сумма всех произведений корней по три: $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$.

И так далее, знаки при дробях чередуются. Общая формула для суммы произведений корней по $k$ штук имеет вид:

$\sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$.

Произведение всех корней равно:

$x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$.

Ответ: Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ утверждает, что сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1 + x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$). Для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Практически важным следствием из этой теоремы является формулировка для приведенного квадратного уравнения (в котором коэффициент при $x^2$ равен 1). Такое уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. В этом случае $a=1$, $b=p$ и $c=q$, и формулы Виета принимают более простой вид:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

На основе этого простого вида формулируется теорема, обратная теореме Виета, которую и принято называть следствием из теоремы Виета.

Формулировка следствия:
Если существуют два числа $m$ и $n$, сумма которых равна $-p$, а произведение равно $q$ (то есть $m + n = -p$ и $m \cdot n = q$), то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Это следствие очень удобно для устного подбора целочисленных корней приведенных квадратных уравнений, а также для составления квадратного уравнения по известным корням.

Пример использования:
Рассмотрим уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$.
Здесь $p = -8$ и $q = 15$. Согласно следствию, мы ищем два числа, произведение которых равно $15$, а сумма равна $-p = -(-8) = 8$.
Легко подобрать такие числа: это $3$ и $5$, поскольку $3 \cdot 5 = 15$ и $3 + 5 = 8$.
Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ и их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если два числа удовлетворяют определенным соотношениям, связанным с коэффициентами квадратного уравнения, то эти числа являются корнями данного уравнения. Эта теорема очень удобна для подбора целочисленных корней приведенных квадратных уравнений и для составления квадратного уравнения по известным корням.

Формулировка теоремы, обратной теореме Виета

Формулировка для приведенного квадратного уравнения (уравнения вида $x^2+px+q=0$):

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$ (то есть, $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$), то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство:

Пусть дано уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию теоремы, существуют числа $x_1$ и $x_2$, для которых верны равенства: $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$.

Подставим эти выражения для коэффициентов $p$ и $q$ в исходное уравнение:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Чтобы доказать, что $x_1$ является корнем этого уравнения, подставим $x=x_1$ в его левую часть и выполним преобразования:

$x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 + x_1x_2 = x_1^2 - x_1^2 - x_2x_1 + x_1x_2 = 0$

Полученное верное равенство $0 = 0$ доказывает, что $x_1$ — корень уравнения.

Аналогично докажем, что $x_2$ также является корнем, подставив $x=x_2$ в левую часть:

$x_2^2 - (x_1 + x_2)x_2 + x_1x_2 = x_2^2 - x_1x_2 - x_2^2 + x_1x_2 = 0$

Это также верное равенство, следовательно, $x_2$ — тоже корень уравнения. Теорема доказана.

Пример применения:

Не решая уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$, найдем его корни подбором, используя теорему, обратную теореме Виета.

В этом уравнении коэффициенты $p = -7$ и $q = 10$.

Нам нужно найти два числа, $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -p = -(-7) = 7$

$x_1 \cdot x_2 = q = 10$

Начнем подбор с произведения. Число 10 можно представить как произведение целых чисел следующими способами: $1 \cdot 10$, $2 \cdot 5$, $(-1) \cdot (-10)$, $(-2) \cdot (-5)$.

Теперь проверим сумму для каждой пары:

$1 + 10 = 11$ (не подходит)

$2 + 5 = 7$ (подходит)

Таким образом, мы нашли числа $2$ и $5$, которые удовлетворяют обоим условиям. Согласно теореме, обратной теореме Виета, эти числа и являются корнями данного уравнения.

Ответ: Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2$ равна $-p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно $q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

4. Сформулируйте следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а их произведение равно $q$ (то есть $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$), то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Эта теорема является основой для метода решения квадратных уравнений путём подбора корней. Следствие из этой теоремы позволяет значительно упростить и ускорить этот подбор, так как даёт возможность определить знаки корней уравнения, исходя из знаков его коэффициентов.

Следствие из теоремы, обратной теореме Виета

Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, которое имеет действительные корни, можно сформулировать следующие правила для определения знаков корней:

1. Если свободный член $q$ положителен ($q > 0$), то оба корня ($x_1$ и $x_2$) имеют одинаковый знак. При этом:

   • Если второй коэффициент $p$ отрицателен ($p < 0$), то оба корня положительны. Это следует из того, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ является положительным числом.
   • Если второй коэффициент $p$ положителен ($p > 0$), то оба корня отрицательны, так как их сумма $x_1 + x_2 = -p$ является отрицательным числом.

2. Если свободный член $q$ отрицателен ($q < 0$), то корни ($x_1$ и $x_2$) имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). При этом:

   • Если второй коэффициент $p$ отрицателен ($p < 0$), то положительный корень имеет больший модуль. Это следует из того, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ положительна.
   • Если второй коэффициент $p$ положителен ($p > 0$), то отрицательный корень имеет больший модуль, так как их сумма $x_1 + x_2 = -p$ отрицательна.

Данное следствие помогает при подборе целочисленных корней, сужая круг поиска. Например, для уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ мы видим, что $q = 15 > 0$ и $p = -8 < 0$. Согласно следствию, оба корня должны быть положительными. Нам остаётся найти два положительных числа, произведение которых равно 15, а сумма равна 8. Это числа 3 и 5.

Ответ: Если свободный член $q$ приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ положителен ($q > 0$), то уравнение (если оно имеет действительные корни) имеет два корня одного знака, и этот знак противоположен знаку второго коэффициента $p$. Если свободный член $q$ отрицателен ($q < 0$), то уравнение имеет два корня разных знаков, причём знак корня с бо́льшим модулем противоположен знаку коэффициента $p$.

705. Чему равна сумма корней уравнения $x^2 + 5x - 10 = 0$:

1) 5;

2) -5;

3) -10;

4) 10?

Для того чтобы найти сумму корней уравнения $x^2 + 5x - 10 = 0$, можно воспользоваться теоремой Виета.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. Определим его коэффициенты:
$a = 1$
$b = 5$
$c = -10$

Перед применением теоремы Виета, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого вычислим дискриминант ($D$):
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 25 + 40 = 65$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1$ и $x_2$) квадратного уравнения находится по формуле:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим значения коэффициентов $a=1$ и $b=5$ в формулу:
$x_1 + x_2 = -\frac{5}{1} = -5$.

Таким образом, сумма корней данного уравнения равна -5.

Ответ: -5

706. Чему равно произведение корней уравнения $x^2 - 14x + 12 = 0$:

1) -14; 2) 14; 3) 12; 4) -12?

Для нахождения произведения корней квадратного уравнения можно воспользоваться теоремой Виета.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно отношению свободного члена $c$ к коэффициенту при $x^2$, то есть $a$. Формула выглядит так:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Рассмотрим данное уравнение: $x^2 - 14x + 12 = 0$.

Определим его коэффициенты:

$a = 1$ (коэффициент при $x^2$)

$b = -14$ (коэффициент при $x$)

$c = 12$ (свободный член)

Перед тем как применить теорему, нужно убедиться, что уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 196 - 48 = 148$

Поскольку $D = 148 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и мы можем применить теорему Виета.

Теперь найдем произведение корней, подставив значения $a$ и $c$ в формулу:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{1} = 12$

Таким образом, произведение корней уравнения равно 12. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 12.

707. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 6x - 32 = 0;$

2) $x^2 - 10x + 4 = 0;$

3) $2x^2 - 6x + 3 = 0;$

4) $10x^2 + 42x + 25 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, не решая его, используется теорема Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие формулы: сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Прежде чем применять формулы, полезно убедиться, что уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

1) Дано уравнение $x^2 + 6x - 32 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-32$.
Проверим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 36 + 128 = 164$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{1} = -6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-32}{1} = -32$.
Ответ: сумма корней равна -6, произведение корней равно -32.

2) Дано уравнение $x^2 - 10x + 4 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=4$.
Проверим дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 100 - 16 = 84$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: сумма корней равна 10, произведение корней равно 4.

3) Дано уравнение $2x^2 - 6x + 3 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-6$, $c=3$.
Проверим дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2} = 3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: сумма корней равна 3, произведение корней равно 1,5.

4) Дано уравнение $10x^2 + 42x + 25 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=10$, $b=42$, $c=25$.
Проверим дискриминант: $D = 42^2 - 4 \cdot 10 \cdot 25 = 1764 - 1000 = 764$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{42}{10} = -4,2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{25}{10} = 2,5$.
Ответ: сумма корней равна -4,2, произведение корней равно 2,5.

708. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 - 12x - 18 = 0;$

2) $x^2 + 2x - 9 = 0;$

3) $3x^2 + 7x + 2 = 0;$

4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, не решая его, используется теорема Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие формулы:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Прежде чем применять теорему Виета, необходимо убедиться, что уравнение имеет действительные корни. Это условие выполняется, если дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен ($D \ge 0$).

1) $x^2 - 12x - 18 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = -18$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 144 + 72 = 216$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{1} = 12$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{1} = -18$.
Ответ: сумма корней равна 12, произведение корней равно -18.

2) $x^2 + 2x - 9 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -9$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1} = -9$.
Ответ: сумма корней равна -2, произведение корней равно -9.

3) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 7$, $c = 2$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.
Ответ: сумма корней равна $-\frac{7}{3}$, произведение корней равно $\frac{2}{3}$.

4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = -4$, $b = -8$, $c = 27$.
Проверим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 27 = 64 + 432 = 496$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{-4} = \frac{8}{-4} = -2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{27}{-4} = -\frac{27}{4}$.
Ответ: сумма корней равна -2, произведение корней равно $-\frac{27}{4}$.

709. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:

1) $x^2 - 8x + 12 = 0$ числа 2 и 6;

2) $x^2 + x - 56 = 0$ числа -7 и 8;

3) $x^2 - 13x + 42 = 0$ числа 5 и 8;

4) $x^2 - 20x - 99 = 0$ числа 9 и 11.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если существуют числа $x_1$ и $x_2$, для которых одновременно выполняются два равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями данного уравнения. Проверим выполнение этих условий для каждого случая.

1) $x^2 - 8x + 12 = 0$ числа 2 и 6;

Для данного уравнения коэффициенты $p = -8$ и $q = 12$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=2$ и $x_2=6$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = 2 + 6 = 8$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(-8) = 8$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется, так как $8=8$.

2. Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 6 = 12$.
По теореме, произведение должно быть равно $q = 12$.
Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ выполняется, так как $12=12$.

Оба условия выполнены, следовательно, числа 2 и 6 являются корнями уравнения.
Ответ: являются.

2) $x^2 + x - 56 = 0$ числа -7 и 8;

Для данного уравнения коэффициенты $p = 1$ и $q = -56$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=-7$ и $x_2=8$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = -7 + 8 = 1$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(1) = -1$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ не выполняется, так как $1 \neq -1$.

Так как одно из условий не выполнено, дальнейшая проверка не требуется. Числа -7 и 8 не являются корнями уравнения.
Ответ: не являются.

3) $x^2 - 13x + 42 = 0$ числа 5 и 8;

Для данного уравнения коэффициенты $p = -13$ и $q = 42$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=5$ и $x_2=8$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = 5 + 8 = 13$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(-13) = 13$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется, так как $13=13$.

2. Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 8 = 40$.
По теореме, произведение должно быть равно $q = 42$.
Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ не выполняется, так как $40 \neq 42$.

Так как второе условие не выполнено, числа 5 и 8 не являются корнями уравнения.
Ответ: не являются.

4) $x^2 - 20x - 99 = 0$ числа 9 и 11.

Для данного уравнения коэффициенты $p = -20$ и $q = -99$.
Проверим, выполняются ли для чисел $x_1=9$ и $x_2=11$ условия теоремы:

1. Сумма: $x_1 + x_2 = 9 + 11 = 20$.
По теореме, сумма должна быть равна $-p = -(-20) = 20$.
Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется, так как $20=20$.

2. Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 9 \cdot 11 = 99$.
По теореме, произведение должно быть равно $q = -99$.
Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ не выполняется, так как $99 \neq -99$.

Так как второе условие не выполнено, числа 9 и 11 не являются корнями уравнения.
Ответ: не являются.